учебное пособие / лекція 8
.docЛЕКЦІЯ
ПОКАЗНИКОВІ ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ
Відомості із вищої математики. Для наближеного обчислення показникової і логарифмічної функцій можна використати такі розклади
,
Збіжність послідовності також маємо, якщо
Показникову функцію можна розкласти в ряд:
Збіжність ряду можна поліпшити, узявши
Значення логарифмів можна знайти з таких розкладів:
Узявши , дістанемо такий розклад:
Ці розклади можна використовувати в разі комплексних значень аргументів. В подальшому припускаємо, що всі аргументи і функції є дійсними.
8.1. Показникова функція
Наведемо деякі основні властивості показникової функції
1. . 5. .
2. . 6. .
3. . 7. .
4. .
Якщо , показникова функція зростає при всіх значеннях х; якщо , ця функція спадає при всіх значеннях х (див. рисунок).
8.2. Логарифмічна функція
Логарифмічна функція — це функція, обернена до показникової функції
Якщо , логарифмічна функція зростає при ; якщо , логарифмічна функція спадає при (див. рисунок).
Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число b:
Звичайно вважають, що
Основна логарифмічна тотожність:
Наведемо деякі властивості логарифмів.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. Формула переходу до нової основи :
.
8. .
9. .
10.
11. .
12. .
Доведення формул (8—11) випливає з формули (7).
8.3. Приклади перетворень логарифмічних виразів
Обчислити значення виразів (1—12).
1.
-
.
2.
-
.
3.
-
.
4. .
5.
-
.
6. .
-
.
7. .
-
Позначимо , тоді ,
.
Остаточно маємо:
8.
-
Позначивши , дістанемо:
.
Остаточно маємо:
.
9.
-
.
10.
-
.
11.
12.
13. Знайти , якщо .
-
.
14. Дано: . Знайти .
15. Знайти , якщо .
-
Переходимо до основи х:
;
.
8.4. Способи розв’язання логарифмічних рівнянь
1. Перехід до спільної основи. Якщо в рівнянні маємо логарифми з різними основами, то переходимо до спільної основи.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
,
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Переходимо до основи 5: Позначивши дістанемо звідки
.
2. Потенціювання. Якщо під знак логарифма входить сума або різниця, то рівняння потенціюють. Розв’язок неодмінно перевіряють.
Приклад. .
-
Перейдемо до основи 2: .
Далі виконуємо потенціювання: .
Корінь не задовольняє рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння
-
За умовою маємо: звідки .
Корінь не задовольняє рівняння.
3. Логарифмування. Якщо в показник при невідомому входять логарифми невідомого, то звичайно обидві частини рівняння логарифмують.
Приклад. Розв’язати рівняння
-
, .
Логарифмуємо обидві частини рівняння за основою 10: .
4. Метод заміни змінної. Логарифмічне рівняння зводиться до алгебраїчного рівняння.
Приклад. Розв’язати рівняння .
Позначимо
Приклад. Розв’язати рівняння
-
Позначимо . Тоді
5. Розклад на множники. Рівняння подається у вигляді і кожний множник прирівнюється до нуля.
Приклад. Розв’язати рівняння
Далі маємо:
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Позначивши , дістанемо рівняння , або , звідки маємо Прирівнюємо до нуля кожний множник:
1)
2)
Корінь не задовольняє рівняння.
6. Графічний спосіб розв’язування. Рівняння записують у вигляді . Далі будують графіки функцій і відшукують точки їх перетину, які визначають розв’язок рівняння.
Приклад. Розв’язати графічно рівняння .
-
Графіки функцій перетинаються в точці . Маємо розв’язок .
Розв’язуючи логарифмічні рівняння здебільшого застосовують кілька способів їх перетворення.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Переходимо до основи 3:
.
Потенціюємо рівняння:
;
; .
Логарифмуємо рівняння за основою 3:
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Розглядаємо два випадки:
1) , тоді рівняння перетворюється на тотожність
звідки ;
2) , тоді .
Потенціюємо рівняння:
8.5. Способи розв’язування показникових рівнянь
1. Прирівнювання показників при однаковій основі
Із рівності випливає .
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Записавши рівняння у вигляді прирівняємо показники при основі 2:
Далі маємо: .
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Прирівнюємо показники при основі 5:
, або Позначивши дістанемо:
.
Корінь не задовольняє рівняння.
2. Логарифмування рівняння
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Логарифмуємо обидві частини рівняння при основі 3:
,
.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.
.
3. Метод заміни змінної
Приклад. Розв’язати рівняння
-
Позначивши , дістанемо:
;
.
Приклад. Розв’язати рівняння
-
Позначивши , дістанемо ;
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Позначивши дістанемо: ; .
4. Однорідні рівняння
Рівняння можна переписати у вигляді
.
Виконавши заміну, , дістанемо рівняння .
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Перепишемо рівняння у вигляді: Виконавши заміну дістанемо , звідки .
Приклад. Розв’язати рівняння
х ≈ 1,18681439.
Приклад. Розв’язати рівняння
-
Запишемо рівняння у вигляді:
Позначивши , дістанемо:
.
5. Розклад рівняння на множники
Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Узявши , розкладемо рівняння на множники: . Далі маємо: ; . Розв’язавши останнє рівняння графічно, знаходимо корінь .
Приклад. Розв’язати рівняння
.
-
Узявши , згрупуємо члени з множниками :
.
Прирівняємо кожний множник до нуля:
1) 2) , ;
. Корінь не задовольняє рівняння.
8.6. Показниково-степеневі рівняння
Розглядається рівняння
.
Наведемо частинні випадки цього рівняння.
1) , функція існує.
2) , функції існують.
3) , , .
4) , а — цілі числа одинакової парності.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
1. .
2. .
3. . Підставляючи в рівняння, дістаємо . Оскільки вираз не має сенсу, то корінь не задовольняє рівняння.
4. .
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
1. .
2. .
3. — не задовольняє рівняння.
4. .
Деякі рівняння можна розглядати і як показникові, і як логарифмічні.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Потенціюємо обидві частини рівняння:
Позначивши , дістанемо:
.
Приклад. Розв’язати рівняння .
-
Переходимо до основи 3: .
Позначивши дістанемо звідки
Повертаючись до початкових позначень, маємо:
1)
2) .
Приклад. Розв’язати рівняння .
8.7. Системи показникових і логарифмічних рівнянь
Під час розв’язування систем показникових і логарифмічних рівнянь поєднують прийоми, застосовувані під час розв’язування відповідних рівнянь і систем алгебраїчних рівнянь.