учебное пособие / лекція 6 - продовження
.doc6.8. Подання тригонометричних функцій через тангенсів половинного кута
Знайдемо вирази для тригонометричних функцій через тангенс половинного кута:
;
.
6.9. Обчислення похідних тригонометричних функцій
Наведемо без доведення формули для похідних тригонометричних функцій:
;
;
.
Приклад. Знайти похідну функції
.
-
Використовуючи наведені формули, маємо:
6.10. Приклади перетворень тригонометричних виразів
Обчислити значення виразів (1—23).
1.
.
2.
,
якщо
.
-
.
3.
,
якщо
.
-
.
4.
.
-
.
5.
,
якщо
.
-
;
.
6.
,
якщо
.
7.
.
Знайдемо добуток шуканих значень:
Узявши
,
дістанемо систему рівнянь:
Знайдемо значення тригонометричних функцій:
;
.
8.
.
-
Помножимо обидві частини рівняння на
:
або
.
Виконаємо перетворення:
.
З рівняння
знайдемо
.
9.
,
якщо
.
-
Знайдемо
.
.
10.
.
-
Виконуємо перетворення:
,
,
звідки
.
11.
,
якщо
.
-
Виконуємо перетворення:
Далі
маємо:
.
12.
,
якщо
.
-
Подамо даний дріб через
:
.
13.
,
якщо
.
-
Виконуємо перетворення:
14.
,
якщо
.
-
Виконуємо перетворення:
15.
.
16.
17.
.
18.
,
якщо
.
-
Виконуємо перетворення:
19.
20.
,
якщо
.
-
Виконаємо перетворення:
.
.
21.
,
якщо
.
-
,
.
22.
,
якщо
.
-
Зведемо вираз до функції від
:
23.
Довести рівність
.
-
Перетворимо ліву частину рівності:
.
Умова:
.
24.
Довести тотожність
.
Перейдемо
в лівій частині рівності до кута
.
25.
Довести, що
.
-
Перетворимо добутки в суми:
;
.
26. Довести тотожність
,
якщо
.
-
Виключивши кут
,
дістанемо тотожність:
,
Поділивши
обидві частини рівності на
,
дістанемо:
або
.
27.
,
якщо
.
-
Виключимо кут
:
,
.
,
1 = 1.
28.
.
-
Використаємо тотожність
:
29.
Обчислити:
.
1. Побудувати графіки тригонометричних функцій.
2. Вивести формули додавання кутів.
3. Вивести формули перетворення добутків на суми.
4. Вивести формули додавання функцій.
5. Вивести формули зведення.
6. Подання тригонометричних функцій через тангенс половинного кута.
7. Вивести основну тригонометричну тотожность.
Довести тотожність (1—20)
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
,
якщо
.
9.
,
якщо
.
10.
,
якщо
.
11.
.
12.
.
13.
,
якщо
.
14.
,
якщо
.
15.
,
якщо
.
16.
,
якщо
.
17.
,
якщо
.
18.
,
якщо
.
19.
,
якщо
.
20.
.
Обчислити (21—54) Відповідь
21.
. 0,125
22.
. 1
23.
. 12
24.
. 5
25.
. –1
26.
. 1,5
27.
. 0,75
28.
. 1
29.
. 4
30.
. 1
31.
. 1
32.
,
якщо
. 
33.
,
якщо
. 224
34.
. 4
35.
. –1
36.
. 1
37.
. 1
38.
,
якщо
. –20
39.
,
якщо
. 0,936
40.
,
якщо
. 
41.
. –1
42.
,
якщо
. 3,2
43.
. 2
44.
. 1
45.
,
якщо
. 
46.
,
якщо
. –0,4
47.
. 0,5
48.
. 0,5
49.
,
якщо
.
50.
,
якщо
,
,
. 
51.
,
якщо
,
,
. 
52.
,
якщо
,
,
. 
53.
,
якщо
,
,
. 
54.
,
якщо
,
,
. 
Спростити вирази (55—61)
55.
. 
56.
. 
57.
. 
58.
. 1
59.
. 
60.
. 
61.
. 
Перетворити на добуток (62—67)
62.
. 
63.
. 
64.
. 
65.
. 
66.
. 
67.
. 
Довести рівності (68—71)
68.
.
69.
.
70.
.
71.
.