Значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.

Приклад. Знайти тангенси кутів нахилу дотичної до кривої у = х² у точках М₁(½; ¼), М₂(–1; 1) (рис. 3).

Рис. 3

• Згідно з (6) дістаємо:

За формулою похідної степеневої функції маємо:

Отже,

Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо рівняння кривої у = f(x) (рис. 4). Візьмемо на кривій точку М(х₁, у₁) і запишемо рівняння дотичної до цієї кривої в точці М, припускаючи, що дотична не паралельна жодній координатній осі.

Рівняння кривої, що має кутовий коефіцієнт k і проходить через точку М, набирає вигляду

.

Для дотичної , тому рівняння дотичної буде таке:

Поряд із дотичною до кривої розглядають і її нормаль.

Нормаллю до кривої в даній точці називається пряма, яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної в ній.

Рис. 4

Із означення нормалі випливає, що її кутовий коефіцієнт k_норм пов’язаний із кутовим коефіцієнтом k дотичної рівністю

, тобто

Отже, дістаємо рівняння нормалі до кривої у = f(x) у точці М (х₁, у₁):

Приклад. Записати рівняння дотичної та нормалі до кривої у = х³ у точці М(1; 1).

 Оскільки у = 3х², то кутовий коефіцієнт дотичної

.

Отже, згідно з (1) рівняння дотичної буде таке:

, або .

Рівняння нормалі:

, або (рис. 5).

Рис. 5

1. Знайти похідну функції.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

2. В якій точці похідна функції дорівнює 7?

3. Скласти рівняння дотичної до графіка функції в точці :

1. 

2. 

4. Знайти кута похилу графіка функції в точці

5. В яких точках графіка функції дотична до нього утворює тупий кут з віссю абсцис?

6. Знайти , якщо .

7. Знайти похідну функції.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

8. Знайти приріст функції в точці , якщо .

9. Вибрати функцію, для якої не існує похідної в точці .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

10. Розв’язати рівняння , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

133

Елементарна математика