15.7. Основні аксіоми та найпростіші теореми стереометрії

Стереометрія вивчає властивості тіл і фігур у просторі.

Наведемо ряд аксіом і теорем, покладених в основу курсу стереометрії.

1. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести єдину площину (аксіома площини).

2. Якщо дві точки належать одній площині, то й пряма, що їх сполучає, належить цій площині.

3. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму — лінію перетину цих площин.

На будь-якій площині справджуються аксіоми та теореми планіметрії.

Теорема 1. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину й до того ж лише одну.

Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину й до того ж лише одну.

Мимобіжними називаються прямі, що не лежать в одній площині.

Ознака мимобіжності прямих. Якщо пряма a лежить у площині α, а пряма b перетинає цю площину в точці, що не лежить на прямій а, то ці прямі мимобіжні (рис. 1).

Рис. 1

Кутом між двома мимобіжними прямими називається кут між прямими, що перетинаються і кожна з яких паралельна одній із мимобіжних прямих.

Теорема 3. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то й інша пряма перетинає площину.

Теорема 4. Через дві паралельні прямі можна провести площину й до того ж лише одну.

Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їхнього спільного перпендикуляра.

Пряма а називається паралельною площині α, якщо вона не має з цією площиною спільних точок.

Ознака паралельності прямої і площини. Якщо пряма паралельна деякій прямій а, що лежить у площині α, то вона паралельна площині α (див. рис. 1).

Паралельними називаються дві площини, що не мають спільних точок.

Теорема 5. Через точку, що не лежить у даній площині, можна провести єдину площину, паралельну даній.

Теорема 6 (ознака паралельності площин). Якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні (рис. 2).

Рис. 2

Теорема 7. Якщо площина перетинає одну з двох паралель­них площин, то вона перетинає й другу, причому лінії перетину паралельні.

15.8. Перпендикулярність у просторі. Проекція прямої. Двогранний кут

Пряма а, що лежить у площині α, поділяє цю площину на дві півплощини і називається межею півплощин.

Пряма а називається перпендикулярною до площини α, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що належить площині α.

Теорема 1 (ознака перпендикулярності прямої і площині). Пряма а перпендикулярна до площини α, якщо вона перпендикулярна до двох прямим, що перетинаються і лежать у площині а (рис. 1).

Рис. 1

Двогранним кутом називається частина простору, обмежена двома півплощинами, що мають спільну межу, яка називається ребром двогранного кута (рис. 2). Якщо пряма а₁, що лежить у площині α, перпендикулярна до ребра а і пряма b₁, що лежить у площині β, перпендикулярна до ребру а, то кут між прямими a₁ і b₁ називається лінійним кутом двогранного кута.

Рис. 2

Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, що проходить через ребро двогранного кута і поділяє його на два рівних двогранних кути (рис. 2).

Властивість точок бісекторної площини. Кожна точка бісек­торної площини рівновіддалена від граней двогранного кута. Обернене твердження: якщо точка рівновіддалена від граней двогранного кута, то вона належить його бісекторній площині.

При перетині двох площин утворюються чотири двогранних кути. Якщо лінійний кут одного з цих двогранних кутів прямий, то ці площини називаються взаємно перпендикулярними.

Теорема 2 (ознака перпендикулярності площин). Якщо пряма а, перпендикулярна до площини α, належить площині β, то площини α і β взаємно перпендикулярні (рис. 3).

Рис. 3

Перпендикулярною проекцією точки А на площину α називається основа перпендикуляра, опущеного з точки А на площину α.

Проекцією фігури на площину α називається множина точок площини α, що є проекціями всіх точок цієї фігури. Проекцією прямої на площину є також пряма (або, в частинному випадку, точка). Якщо пряма а перетинає площину α в точці А, то проекція прямої також проходить через точку А.

Якщо пряма а паралельна площині α, то її проекція буде паралельною прямійа.