15. Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости, признак сравнения, теорема о гармоничности ряда.

Th(признак Даламбера): Пусть- неотрицательные ряды иконечный или бесконечный, тогда : 1) если, то ряд- сходится; 2) если, то ряд- расходится.

Док-во: 1) Пусть , тогда по свойствам приделов последовательности найдется числотакое, что неравенство(1) выполняется при всех достаточно большихk, т.е. при всехkначиная с некоторого номераNдля этого достаточно взять любое числоудовлет. неравенству. Из (1). Из (1). Аналогично, доказывается, чтовыполняется неравенство. Т.к., то ряд- сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем- сходится, поэтому по первому признаку сравнения сходится ряд, которые являютсяN-м остатком ряда, поэтому ряд- сходится. 2) Пусть, тогда по свойствам приделовпоследовательностьмонотонно возрастает и поскольку, то это последовательность не стремиться к нулюпо необходимому признаку сходимости ряд- расходится. - ■

Th(признак Коши): Пусть для неотрицательного рядаконечный или бесконечный придел, тогда : 1) если, то ряд- сходится; 2) если, то ряд- расходится.

Док-во: 1) Пусть . Выберем числоqтак, чтобы, тогда по свойствам приделапри всехвыполняется неравенство(1). Т.к., то ряд- сходитсяв силу (1) по первому признаку сравнения ряд- сходится, поэтому сходится и ряд. 2) Пусть, тогдаобщий член ряда не стремится к нулюряд расходится. - ■

Th(интегральныйпризнак сходимости): Пусть- неотрицательная монотонная убывающая функция определенная на промежутке. Рассмотрим ряд. Он сходится, если сходится не собственный интеграл.

Лемма:Для того, чтобы неотрицательный ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.

Док-во: Пусть -n-тая частичная сумма неотрицатель. ряда, тогда, т.к., топоследовательностьмонотонно возрастает и поThо монотонно возрастающей последовательности, она сходитсякогда, где, С – некоторая константа. - ■

Th(1 признак сравнения): Пусть(1) - неотрицательные ряды, такие что(3), и (2), тогда: 1) если ряд- сходится, то и рядтакже сходится; 2) если рядрасходится, то -- расходится.

Док-во: Пусть - частичные суммы рядов (1) и (2), тогда в силу (3) имеем(4). Если ряд (2) сходится, то по Леммепо Лемме ряд (1) – сходится. Пусть ряд (1) – расходится, тогда по Лемме последовательность- неограниченная сверхуряд (2) – расходится. - ■

Th(2 признак сравнения): Пусть заданы неотрицательные рядыи, при этомконечный или бесконечный, тогда: 1) еслии ряд- сходится, то и ряд-сходится; 2) еслии ряд- сходится, то и ряд-сходится; 3) если- число не равное нулю, то рядыи- сходятся или расходятся одновременно, т.е. рядсходитсякогда сходится ряд.

Док-во: 1) Пусть , тогда послед.ограничено сверху, как всякая сходящаяся поверхность. Если ряд- сходится, то и ряд- сходитсяпоThо первом признаке сравнения ряд- сходится. 2) Пусть- конечный или бесконечный придел отношения, тогда, т.е. поэтому если ряд- сходится, то оп доказанному 1) и ряд- сходится. 3)из утверждения 1) и 2). - ■

Если , ряд, то ряд назывгармоническим рядом.

Th(огармонически ряда). При любом n имеет место приближенное равенствогде 0 <_n< 1.

Док-во: Пусть дана площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной равнобочной гиперболой, отнесенной к асимптотам, уравнение которой y = 1/x двумя ее ординатами aA и bB, уравнения которых x = 1 и x = n, и осью абсцисс. Пользуясь "формулами прямоугольников", вычислим эту площадь с недостатком и с избытком. Разделив основание на n равных частей, найдем, что площадь aABb равна Если взять левые ординаты (соответствующие точкам делений 1, 2, 3, ... n1) за высоты прямоугольников, то получим площадь ступенчатой линии, превышающую площадь криволинейной трапеции. Отсюда вытекает неравенствоилиЕсли взять правые ординаты (соответствующие точкам делений 2, 3, ... n) за высоты прямоугольников, то получим площадь ступенчатой линии, меньшую площади криволинейной трапеции aABb. Поэтом можно сказать, что. Добавим к обеим частям неравенства 11/nилиТаким образом сумму первых n1 членов гармонического ряда можно приближенно выразить через ln(n) следующим равенствомС ростом количества членов гармонического ряда величина_nвозрастает. Но 0 <_n< 11/n. Поэтому существует предел_n, меньший или равный единицы, т.е..

Этот предел называют "эйлеровой постоянною". При помощи подсчетов H_n1и ln(n) удалось найти значение этого числа с большой точностью и получить C = 0.57721566490...