6. Экстремум функции. Выпуклость функции, точки перегиба.

Пусть функция определена на точка называетсяточкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестностьт.такая что при всехвыполняется неравенство() (1). Точканазываетсяточкой строгого локального максимума (минимума) если в (1) нестрогие неравенства можно заменить строгими. Точка называетсяточкой локального экстремума если она является либо точкой локального максимума (либо минимума).

Пусть функция определена наэта функция называетсявыпуклой (вогнутой) на если касательная проведенная к графику функции в любой его точке лежит выше (ниже) графика. Функция выпуклая, есливыполняется неравенство. Функция вогнутая, есливыполняется неравенство.

Пусть функция определена в некоторой окрестноститочкии имеет производнуют.называетсяточкой перегиба если касательная к графику функции в т. относительно графиков функции изменяется при переходе через.

7. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

Пусть функция определена натогда функцияназываетсяпервообразной для функции если:

1) непрерывна на;

2) во внутренних точках промежутка функциядифференцируема и удовлетворяет равенству.

Неопределенным интегралом от функции заданной на некотором промежуткеназывается совокупность всех ее первообразных. Обозначается.

Свойства интеграла

1) Производная от интеграла = подинтегральной функции

2) , гдепроизводная функции

3) Линейность интеграла: интеграл суммы = сумме интегралов и const можно

выносить за знак интеграла и

Таблица неопределенных интегралов

15.

16.

17.

18.

19.

20.

8. Интегрирование при помощи переменной и по частям.

Теорема 1 (правило замены переменной в неопределенном интеграле): пусть функция определена на промежуткеи имеет первообразную на этом промежутке т. е. существует интеграл. Пусть функцияопределенная на промежуткенепрерывна на этом промежутке и имеет производнуюв его внутренних точках, кроме того, предположим, чтодля любоготогда функцияимеет первообразную наи при этом. Данная формула означает, что для нахождения интеграла в ее левой части нужно найти интеграл (первообразную) от функциии затем подставить вместоx его значение .

Доказательство: Пусть - первообразная для функциит. е.рассмотрим функцию- непрерывна накак композиция непрерывных функцийиво внутренних точкахфункцияимеет производную, которая вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции т. е.следовательно функцияесть первообразная для функциит. е. для подинтегральной функции в левой части формулы.

Теорема 2 (интегрирование по частям): пусть функции иимеют производные на промежуткетогда

(формула интегрирования по частям).

Доказательство:

Используя правило дифференцирования произведения

интегрируя это равенство получаем по определению интеграла следовательно получаем

.

9. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Условие интегрирования функции.

Разбиением отрезка называется конечный набор точек таких что. Обозначается– разбиение т.отрезка.Мелкостью разбиения называется число – наибольшее из длин отрезков разбиения. Пусть назадана функцияпусть– некоторое разбиение, выберем внутри каждого отрезка т.и составим сумму. Данная сумма называетсяинтегральной суммой функции для разбиенияи выбранных точек. Обозначаетсяили. ЧислоI называют пределом интегральных сумм если для любой последовательности разбиений отрезкатакой чтои при любом выбореn. соответствующая разбиениюсоответствует последовательность интегральных суммсходится к числуI т. е. . Функцияопределенная на отрезкеназываетсяинтегрируемой по Риману если существует предел интегральных сумм при. Этот предел называется определенным интегралом (Римана) функциипо отрезкуи обозначается.где– подинтегральная функция,a и b – нижний и верхний пределы интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

Необходимое условие интегрируемости: если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.