3. Непрерывность функции. 1-а и 2-а теоремы Больцано-Коши, 1-а и 2-а теоремы Вейерштраса.

Определение2. Функция называется непрерывной в точке х₀ если: (2) Это определение предъявляет функцииследующие требования:1) функциядолжна быть определена в точке х₀ и некоторой ее окрестности.2) Функция Функция должна иметь в точке х₀ предел.3) Этот предел должен совпадать со значением функции в точке х₀ . Определение 2 означает, что для непрерывности в точке х₀ функции знаки lim и f функции перестановочны, т.е. . Предел функции равен функции от предела аргумента. Если хотя бы одно из трех требований предъявляемым к функциив определении 2 не выполняется, то говорят, что функцияразрывна в т. х₀ или имеет в т. х₀ разрыв; при этом предполагается, что функция определена в некоторой окрестностикроме быть может т. х₀. Тогда т. х₀ - называется точкой разрыва функции. Определение 2 аналитически выражает интуитивное представление о непрерывности графика функции т.е. кривой.

Первая теорема Больцано-Коши: Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке и на концах этого промежутка принимает значения разных знаков. Тогда между а иb необходимо найдется точка с, в которой функция обращается в нуль: (a<c<b). геометрический смысл: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси х на другую, то она пересекает эту ось.

Доказательство. (по методу деления промежутка). Для определенности положим, что ,a . Разделим промежутокпополам точкой. может случиться, что функцияобратиться в нуль в этой точке, тогда теорема доказана: можно положить. пусть также, тогда на концах одного из промежутковфункция будет принимать значения разных знаков(и притом отрицательное значение на левом конце и положительное – на правом). Обозначив этот промежуток через, имеем. Разделим пополам промежутоки снова отбросим тот случай, когдаобращается в нуль

В середине этого промежутка, ибо тогда теорема доказана. Обозначим черезту из половин промежутка, для которой0.

Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, где функция обращается в нуль, и док-во завершится, либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой промежутков. Тогда для k-го промежутка , k∈N будем иметь 0 (1), причем длина его, очевидно, равна(2)_.

Построенная последовательность промежутков удовлетворяет условиям леммы о вложенных промежутках, ибо, ввиду (2), поэтому обе переменныеистремятся к общему пределу., который очевидно, принадлежит.Покажем, что именно эта точка удовлетворяет требованию теоремы. Переходя к пределу в неравенствах (1) и используя при этом непрерывность функции (в точке х=с), получим, чтотак что действительно.

Вторая теорема Больцано – Коши. Пусть функция определена и непрерывна в замкнутом промежуткеи на концах этого промежутка принимает не равные значения f(a)=A и f(b)=В. Тогда, каково бы ни было число C, лежащее между А и В, найдется такая точка c междуa и b, что f(c)=C.

Доказательство: Основано на первой теореме Больцано-Коши.

Будем считать, например, А<B, так что A<C<B. рассмотрим на промежутке вспомогательную функцию φ(x)=f(x)−C она непрерывна в промежутке и на концах его имеет разные знаки:(b)=f(b)−C=B−C>0, :(a)=f(a)−C=A−C<0, тогда по первой теореме между a и b найдется точка с, такая что (c)=0, т.е. f(c)-C=0 или f(c)=C. ч.т.д.

Геометрический смысл этой теоремы: всякая прямая y=C, где B<C<A, пересечет график функции f по крайней мере в одной точке.

Замечание. Если f - непрерывна и непостоянна на I, то образом этого промежутка I при отображении f будет также промежуток (т.е. непрерывным образ f(I)промежутка I есть промежуток). В самом деле, по теореме из того, что B,A∈E(f)следует, что интервал (B;A)⊂E(f), т.е. E(f)⊂f(I)- промежуток.

Первая теорема Вейерштрасса.

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она ограничена и знизу и сверху, т.е. существуют такие постоянные и конечные числаm и М, что при.

Доказательство: методом от противного,допустим, что функция при изменении х в промежутке оказывается неограниченной, скажем, сверху. В таком случае для каждого натурального числа n найдется в промежутке такое значение х=х_n, что f(x_n)n.(3)

По лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности ,сходящуюся к конечному пределу: (при) , причем,очевидно, . Вследствие непрерывности функции в точке, тогда должно быть и, а это не возможно, так как из (3) следует, что. Получено противоречие. Теорема доказана.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке, то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и нижней границ. Иными словами, в промежуткенайдутся такие точки х₀ и х₁, что значения и, будут, соответственно, наибольшим и наименьшим из всех значений функции.

Доказательство. Положим , по предыдущей теореме, это – число конечное. Предположим, что всегда<M, т.е., что граница М не достигается. В таком случае, можно рассмотреть вспомогательную функцию . Так как , по предположению, знаменатель здесь в нуль не обращается, то эта функция будет непрерывна, а следовательно (по предыдущей теореме), ограничена:. Но тогда легко получить, что тогда<M-, т.е. числоM-, меньше чем М, оказывается верхней границей для значений функции, чего быть не может, ибо М есть точная верхняя граница этих значений. Полученное противоречие доказывает теорему: в промежутке найдется такое значение , что будет наибольшим из всех значений. Аналогично может быть доказано утверждение и относительно наименьшего значения.

4. Производная функции, геометрический и механический смысл производной. Таблица производной. Производные сложных функций. Правила дифференцирования. Дифференциал функции. Уравнение касательной к графику функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , эта функция имеет производную в точкеесли существует пределпри этом значение пределаназываетсяпроизводной функцией в точке.

приращение аргумента

приращение функции

Геометрический и механический смысл производной

Прямая является касательной к графику функциив точкеесли выполнено условие, т.е. еслиимеет вид:. Касательная к графику функцииy существует тогда и только тогда когда функция y дифференцируема в точке . Касательной оказывается прямая, проходящая через точкус угловым коэффициентом.

. Коэффициент растяжения в точке x равен .

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента; в частности: производная времени является мерой скорости изменений, используемой по отношению к различным физическим величинам. Например, мгновенная скорость v неравномерного прямолинейного движения является производной от функции, выражающей зависимость пройденного пути S от времени t.

Производная сложной функции:

Пусть: 1) функция имеет в некоторой точке х₀ производную , 2) функцияимеет в соответствующей точкепроизводнуюв упомянутой точке х₀ также будет иметь производную, равную произведению производных функций и:или короче.

Правила дифференцирования:

1. , 2) , 3), 4)все они доказываются из соответствующих правил для производных:

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

Пусть имеем функцию , определенную в некотором промежутке Х и непрерывную в рассматриваемой точкех₀. Тогда приращение аргумента отвечает приращение ; бесконечно малое вместе с. Большую важность имеет вопрос, существует ли длятакая линейная относительнобесконечно малая, что их разность оказывается, по сравнению с, бесконечно малой высшего порядка:.(1). Приналичие равенства (1) показывает, что бесконечно малаяэквивалентна бесконечно малойи значит, служит для последней ее главной частью, если за основную бесконечно малую взята. Если равенство (1) выполняется, то функцияназывается дифференцируемой (при данном значении х=), само же выражениеназывается дифференциалом функции и обозначается символомТ.О. дифференциал функции характеризуется 2 свойствами: (а) он представляет линейную однородную функцию от приращенияаргумента и (б) разнится от приращения функции на величину, которая приявляется бесконечно малой, порядка высшего, чем.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точкиэта функция называется дифференцируемой в точкеесли ее можно представить в виде

, где A – некоторое число.

Пусть функция определена на интервалеэта функция имеет производную на интервалеесли она имеет производную в каждой точкет. е. эта функция дифференцируема в каждой точкев этом случае также говорят, что функциядифференцируема на интервале.

Уравнение касательной к графику функции