Математический анализ

1. Отображение множеств (функции). Область определения функции. Монотонные функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции.

Пусть XиYпроизвольные множества, тогдафункциейдействующей изXвYназывается некоторое правило, согласно которому каждому элементуxXставится в соответствие единственный элементyY. Функция, действующая изXвYобозначается.

Множество Xназываютобластью определения функции().

Пусть некоторая числовая функция, тогданазываетсявозрастающей (убывающей), если().

Функция, которая возрастает или убывает называется монотонной.

Функция называетсячетной (нечетной), если для любого значенияxиз области определения значение (-x) также принадлежит области определения и выполняется равенство().

Функция называетсяпериодическойс периодом, если для любогоxиз области определения функции числаитакже принадлежат области определения и выполняется условие

.

2. Предел последовательности. Предел суммы, разности, произведения. Предел функции на бесконечность, предел функции в точке. Замечательные пределы.

Упорядочение значений переменной по возрастанию их номеров, приведшее к рассмотрению последовательности этих значений, облегчает понимание «процесса» приближения переменной - при безграничном возрастанииn – к ее пределу а. Число a называется пределом переменной , если для каждого положительного числа, сколько бы мало оно ни было, существует такой номерN, что все значения , у которых номерn>N, удовлетворяет неравенству (1)., переменная стремиться к а:. Число а называют также пределом последовательности , и говорят, что эта последовательность сходится к а. (1) равносильно: или. Открытый промежуток (,), с центром в точке а, принято называть окрестностью этой точки. Таким образом, какую бы малую окрестность точки а ни взять, все значения, начиная с некоторого из них, должны попасть в эту окрестность.Числоназываютпределом числовой последовательностиесли для любогонайдетсятакое что при всехвыполняется неравенство. Обозначается.

Пусть ,две последовательности такие, чтотогда. Эти свойства можно записать

Таким образом, предел суммы= сумме пределов,предел разности= разности пределов,предел произведения= произведению пределов.

Определение (по Коши):Пусть функцияопределена на множестве, гдечислоAназывают пределом функциипри, если для любой окрестностинайдется числотакое что при всехxудовлетворяет неравенствуи выполняется включение.

Определение (по Гейне):ЧислоA– пределпри, если для любоготакой чтопоследовательностьсходится кA.

Определение (по Коши):Пусть функцияопределена в некоторой проколотой окрестностичислоAназывают пределом функциипри, еслинайдется положительное числотакое что при всехи удовлетворяющему неравенствувыполняется неравенство.

Определение (по Гейне):Пусть функцияопределена в некоторой проколотой окрестноститочки, числоAназывают пределом функциипри, если для любой последовательноститакой чтоипоследовательностьсходится к числуA.

Первый замечательный предел

Теорема 1: при ,

Второй замечательный предел

Теорема 2: существует конечный предел . Этот предел называет число, т. е.. Числоиграет важную роль в математике. Это число иррациональное.

Третий замечательный предел

Четвертый замечательный предел

Пятый замечательный предел