IND_ZAD_1DID

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

для студентов 1 курса специальности «Документоведение и информационная деятельность»

дневной формы обучения

1. В задачах 1-10 даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти:

   1. угол между ребрами и ;

   2. площадь грани ;

   3. проекцию вектора на вектор ;

   4. объем пирамиды.

1. .

2.

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

2. В задачах 11-20 даны координаты точек . Найти:

   1. уравнение прямой, проходящей через точки и ,

   2. угол между прямыми и ,

   3. расстояние от точки до прямой ,

   4. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,

   5. уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

3. В задачах 21-30 найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:

   1. плоскости , заданной общим уравнением ;

   2. плоскости , проходящей через точки ,

   3. плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

№	А	B	C	D
21.	2	-3	1	2	(-5;0;0)	(0;-1;0)	(6;1;1)	(0;-4;0)
22.	2	-4	3	1	(-1;0;1)	(3;0;0)	(0;-1;1)	(0;-2;0)
23.	3	2	-1	0	(0;0;0)	(-1;1;1)	(-3;0;2)	(1;1;2)
24.	2	-1	1	2	(0;0;-1)	(0;-1;0)	(2;-2;2)	(0;0;1)
25.	1	2	3	5	(1;1;0)	(1;0;1)	(0;-2;1)	(6;0;0)
26.	1	1	1	1	(0;3;0)	(-1;1;2)	(5;1;-4)	(1;-1;0)
27.	1	1	-2	2	(0;1;1)	(1;1;0)	(-3;0;0)	(0;0;2)
28.	3	-1	2	9	(0;0;0)	(1;1;1)	(3;-2;0)	(1;1;-2)
29.	1	1	-1	7	(-10;0;0)	(-1;3;0)	(-2;0;-4)	(-1;0;-2)
30.	2	-1	3	9	(-2;0;-1)	(0;1;1)	(2;2;0)	(1;0;1)

4. В задачах 31-40 дана точка , плоскость и прямая. Найти:

   1. точку , симметричную точке относительно данной плоскости,

   2. точку , симметричную точке относительно данной прямой,

   3. угол между данными прямой и плоскостью,

   4. точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.

31. .

32. .

33. .

34. .

35. .

36. .

37. .

38. .

39. .

40. .

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИ. ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.

Задача 1. Пусть пирамида задана вершинами. Средствами векторной алгебры найти:

1. угол между ребрами и ;

2. площадь грани ;

3. проекцию вектора на вектор ;

4. объем пирамиды.

Решение.

1. Угол между ребрами и равен углу между векторами и .

Так как , то

Поэтому:

, так что .

2. Грань есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмм, построенного на векторах . Найдем сначала векторное произведение

.

Тогда .

3). Проекция вектора на вектор находится по формуле . В нашем случае

.

Поэтому .

4). Пирамида построена на векторах . В п.2 найдено векторное произведение . Тогда . Так как объем пирамиды есть часть объема параллелепипеда, построенного на векторах то

Задача 2. На плоскости заданы точки . Найти:

5. уравнение прямой, проходящей через точки и ,

6. угол между прямыми и ,

7. расстояние от точки до прямой ,

8. уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,

9. уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Решение.

1. Уравнение прямой, проходящей через точки , имеет вид

. В нашем случае :, т.е.

Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки и .

2. Угол между прямыми и равен углу между векторами , который может быть найден из формулы .

Так как , то

.

Поэтому .

3. Расстояние от точки до прямой находится по формуле:

. В нашем случае нужно найти расстояние от точки до прямой , имеющей уравнение Имеем:

.

4. Запишем сначала уравнение прямой в виде , из которого находим ее угловой коэффициент . Так как прямая должна проходить через точку параллельно прямой , то ее уравнение должно иметь вид:

, т.е. или - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

5. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой , связан с угловым коэффициентом последней соотношением . Отсюда . Поэтому .

- это уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .

Задача 3. Найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:

1. плоскости , заданной уравнением ;

2. плоскости , проходящей через точки ;

3. плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору , если известно, что

.

Решение.

Плоскость определяется уравнением . Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся тем фактом, что уравнение плоскости, проходящей через точки , имеет вид

.

В нашем случае, т.е. .

Раскрыв этот определитель, получим:

или .

Уравнение плоскости, прохоедящей через точку перпендикулярно вектору

имеет вид: . Значит, уравнение плоскости есть: т.е. .

Из уравнений плоскостей , , составим систему:

которую и нужно решить. Для решения воспользуемся правилом Крамера. Для этой цели вычислим определители:

, , , .

Значит, . Следовательно, плоскости , , пересекаются в единственной точке .

Задача 4. Дана точка , плоскость и прямая . Найти:

1. точку , симметричную точке относительно данной плоскости,

2. точку , симметричную точке относительно данной прямой,

3) угол между данными прямой и плоскостью,

4)точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.

Решение.

1).Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной данной плоскости. Так как в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять нормальный вектор плоскости , то уравнение прямой запишется в виде:

. Найдем точку пересечения этой прямой и данной плоскости, которая будет проекцией точки на данную плоскость. Для этого надо решить совместно систему уравнений:

, .

Перепишем каноническое уравнение прямой в параметрической форме, вводя параметр : , т.е.. Подставляя эти выражения для в уравнение плоскості, получим , откуда - координаты точки .

Так как точка является серединой отрезка , то координаты симметричной точки найдутся из формул , откуда

. Следовательно, .

3).Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной данной прямой. Так как в качестве нормального вектора такой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, то уравнение плоскости запишется в виде: или.

Найдем точку пересечения этой плоскости и заданной прямой, которая будет проекцией точки на данную прямую. Для этого надо решить систему уравнений:

, . Как и в п.1 записываем уравнение прямой в параметрическом виде:и подставляем в уравнение плоскости или . Отсюда и .

Координаты симметричной точки находим, используя формулы для координат середины отрезка, т.е.

, откуда . Следовательно, .

3).Угол между плоскостью и прямой вычисляется по формуле , откуда .

4). Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой записывается в виде . Чтобы найти точку пересечения этой прямой с плоскостью , надо в уравнениях прямой положить : , откуда . Следовательно, .