6. Перестановки.

Конечное множество Х называется упорядоченным, если его элементы перенумерованы некоторым образом (в отличие от кортежа в нем элементы не повторяются!).

Например, кортеж (а; б; а, с; д; а) не является упорядоченным множеством; (а; б; в; г; д; е) – является.

Одно и то же множество можно упорядочить различными способами. Например, множество школьников в классе можно упорядочить по росту, весу, алфавиту и.т.д.

Задача. Сколькими способами можно упорядочить m-множество Х?

Решение. Каждое упорядочение заключается в том, что какой-то элемент получает номер 1, какой-то -№ 2, и т.д., последний - № m.

№ 1 может получить любой из элементов множества Х, следовательно, выбор первого элемента можно сделать m способами.

№ 2 уже можно выбрать (m-1) способами.

№ 3 можно выбрать (m-2) способами и т.д.

Последний элемент можно выбрать только одним способом. Значит общее число способов упорядочения равно m^.(m-1)^.(m-2)^. … ^.1.

! Произведение первых m натуральных чисел в математике называют «m-факториал» и обозначают m!

Например, 4!=1^.2^.3^.4=24

Таким образом, число различных упорядочений m-множества Х равно m!

Различные упорядочения m-множества называют перестановками без повторений из m элементов. Число таких перестановок обозначают Р_m.

P_m=m!

В задаче 2 нужно было найти число перестановок, составленных из 6 элементов, т.е. Р₆=6!=720.

Кортежи длины m, в которые входит m₁ раз элемент а₁, m₂ раз элемент а₂, …, m_k раз элемент а_k (m₁₊m_2+…+m_k=m), называют перестановками с повторениями состава (m_1, m_2, …, m_k). Их число выражается формулой: .

Пример. Сколькими способами можно переставить буквы в слове математика?

Решение. В это слово входят две буквы «м», три буквы «а», две буквы «т» и по одному разу буквы «е», «и», «к». Число перестановок равно:

.

6. Размещения без повторений.

Задача. Сколько упорядоченных k-множеств можно составить из элементов m-множества Х?

Решение. В этой задаче, в отличие от предыдущей, нужно перемножить k чисел: m, m-1, m-2, …, m-(k-1), т.к. составление упорядоченного k-множества заканчивается, когда мы выберем k элементов.

Упорядоченные k-множества, составленные из элементов m-множества Х, называются размещениями без повторений из m элементов по k, а их число обозначают .

= m^.(m-1)^.(m-2)^. … ^.(m-k+1).

Умножим и разделим правую часть на (m-k)!

.

Т.к. (m-k)!=1^.2^.3^. …^.(m-k), то m(m-1)(m-2) …(m-k+1) (m-k)^. …^.3^.2^.1=m!

Считают, что 0!=1, значит

, т.к. существует только одно подмножество m-элементного множества, не содержащее элементов – Ø.

В задаче 1 (п.3) требовалось найти число размещений из 30 элементов по 2 элемента, т.е. .

7. Сочетания без повторений.

Задача. Сколько подмножеств, содержащих по k элементов каждое, можно составить из элементов данного m-множества Х? Такие подмножества называют сочетаниями без повторений из m элементов по k, а их число обозначают .

Решение. Возьмем какое-нибудь k-подмножество А в m-множестве Х. Т.к. А содержит k элементов, то его можно упорядочить k! способами. При этом каждое упорядоченное k-множество, состоящее из элементов множества Х, может быть получено таким путем. Значит, число упорядоченных k-множеств в k! раз больше числа неупорядоченных k-множеств в Х.

Например, у множества Х={а, b, с, d} существует 4 трехэлементных подмножества:

{abc} {abd} {acd} {bcd}. Число же упорядоченных трехэлементных подмножеств в 3!=6 раз больше (см. п.3).

Но число упорядоченных k-множеств – это размещения без повторений . Числоk-подмножеств обозначим через . Поэтому =k!^.,но , значит.

В задаче 3 (о преподавателях) нужно было найти

7