4. Правила суммы и произведения.

Правило суммы позволяет найти число элементов в объединении двух конечных множеств, а правило произведения – число элементов их декартова произведения.

Обозначим число элементов конечного множества Х через n(X), множество, состоящее из n элементов, назовем n-множеством. Например, если Х={а, б, в, г, д}, то n(Х)=4, т.е. Х является 4-множеством.

Правило суммы: Если множество Х содержит m элементов, а множество У – n элементов, причем эти множества не пересекаются, то множество ХУ содержит m+n элементов, т.е. из ХУ=Ø n(ХУ)=n(Х)+n(У).

Пример. Х={а, б, в, г,}, У={с, е, д}. Найти n(ХУ).

n(X)=4, n(У)=3. Т.к. ХУ=Ø , то (ХУ)=n(Х)+n(У)=4+3=7.

Если пересечение множеств не пусто, т.е. ХУ≠Ø, например: Х={а, б, в, г, д, е}, У={с, е, д}, то ХУ={а, б, в, г, д, е, с},т.е. n(ХУ)=7,несмотря на то, что n(X)=6, а n(У)=3 (из суммы нужно вычесть число элементов пересечения множеств Х и У ).

Правило суммы в общем виде: Для любых двух множеств Х и У справедливо равенство: n(ХУ)=n(Х)+n(У)-n(ХУ),т.е. число элементов объединения двух множеств равно сумме чисел элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов пересечения этих множеств.

Задача. Сколько пар вида (х_k;y_l) можно составить из элементов множеств

Х={х₁; х₂; ...,х_m} и У={у₁, у₂,…,у_n}?

Запишем эти пары в виде таблицы:

(х₁;y₁), (х₁;y₂),…,(х₁;y_n)

(х₂;y₁), (х₂;y₂),…,(х₂;y_n)

………………………..

(х_m;y₁), (х_m;y₂),…,(х_m;y_n).

Видно, что она состоит из m строк, в каждой из которых n элементов число пар равноm^.n.

Т.о. число упорядоченных пар, которые можно составить из элементов m-множества Х и n-множества У равно m^.n, т.е. произведению числа элементов множества Х на число элементов множества У. Но множество упорядоченных пар, составленных из элементов множеств Х и У называют декартовым произведением.

Правило произведения: n(Х×У)=n(Х)^.n(У).

Его можно сформулировать и так: если элемент х можно выбрать m способами, а элемент у можно выбрать n способами, то упорядоченную пару (х;у) можно выбрать m^.n способами.

Правило произведения в общем виде:

n(Х₁×Х₂×_…×Х_n)=n(Х₁)^.n(Х₂)^. … ^.n(Х_n).

Пример. Из деревни А в деревню В ведут три дороги, а из В в С ведут две дороги. Сколькими способами можно пройти из деревни А в С через В?

Обозначим дороги из А в В цифрами 1, 2, 3, а из В в С буквамиа, в. Тогда каждый вариант пути из А в С задается парой, состоящей из цифры и буквы. Число таких пар по правилу произведения равно 3^.2=6.

(1;а), (2;а), (3;а), (1;в), (2;в), (3;в).

5. Размещения с повторениями.

Кортеж длины k, составленный из элементов m-множества Х, называют размещением с повторениями из m элементов по k, а число таких кортежей обозначают .

=m^k (1)

Например, из 4-множества Х={a, b, c, d} можно составить 16 кортежей длины 2:

(a,a), (a,b), (a,c), (a,d),

(b,a), (b,b), (b,c), (b,d),

(c,a), (c,b), (c,c), (c,d),

(d,a), (d,b), (d,c), (d,d), т.е. 2⁴=16.

Задача. Найти число подмножеств m-множества Х.

Решение. Перенумеруем это множество: Х={х₁; х₂; ...,х_m}. Каждое подмножество можно „зашифровать” с помощью кортежа длиныm из нулей и единиц (если элемент с данным номером входит в подмножество, пишем 1, если нет, пишем 0). Например, 5-множество Х={х₁; х₂; х₃, х₄, х₅}. Тогда кортеж (0; 1; 1; 0; 1) шифрует подмножество

{х₂; х₃, х₅}, кортеж (0; 0; 0; 0; 0) шифрует пустое подмножество, (1; 1; 1; 1; 1) – все множество Х. Потому найти число подмножеств m-множества Х – это все равно, что найти число кортежей длины m, составленных из элементов 2-множества {0;1}. По формуле (1) оно равно 2^m.

Число подмножеств m-множества Х равно 2^m.

Например, множество Х={а, в, с} имеет 2³=8 подмножеств: Ø, {а}, {в}, {с}, {а, в}, {а, с}, {в, с}, {а, в, с}.