- •4. Лекция. Представление чисел в компьютерах. Двоичная арифметика. Точность вычислений. Память компьютеров и адреса.
- •4.1. Числа, арифметические операции и символы
- •4.1.1. Представление целых чисел
- •4.1.2. Сложение положительных целых чисел
- •4.1.3. Сложение и вычитание целых чисел со знаком
- •4.1.4. Переполнение в целочисленной арифметике
- •4.2. Символы
- •4.3. Обработка чисел с плавающей запятой
- •4.3.1. Стандарт ieee для чисел с плавающей запятой
- •4.3.2. Арифметические операции над числами с плавающей запятой
- •4.3.3. Точность вычислений. Разряды защиты и усечение
- •4.4. Память и адреса
- •4.5. Операции доступа к памяти. Коды ascii символов.
4.3.1. Стандарт ieee для чисел с плавающей запятой
Сначала рассмотрим в общих чертах представление чисел с плавающей запятой в десятичной системе счисления, а затем соотнесем это представление с двоичным. Итак, числа с плавающей запятой удобно записывать следующим образом:
± Х1, Х2, Х3, Х4,X5, Х6, Х7, х 10±Y1 Y2
Здесь Хiи Yi— это десятичные цифры. Такого количества значащих цифр (7) и диапазона значений порядка (±99) достаточно для научных расчетов. Мантиссу и порядок из этих диапазонов можно перевести в двоичное представление, умещающееся в 32 разряда, то есть в стандартное компьютерное слово. Мантисса длиной 24 бита может представлять десятичное число из 7 цифр, а 8-битовый порядок подразумеваемого основания 2 позволяет представить достаточно широкий диапазон значений масштабных множителей. Для знака числа необходим один бит. Поскольку ведущий бит нормализованной мантиссы обязательно должен быть равен 1, его можно не включать в представление, за счет чего и освобождается один бит для знака. Таким образом, 32 бита позволяют представить достаточно широкий диапазон чисел с плавающей запятой.
Описанный стандарт представления чисел с плавающей запятой в 32-разрядном формате разработан и детально специфицирован Институтом инженеров по электротехнике и электронике (Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE). В нем определены и представление чисел, и правила выполнения четырех базовых арифметических операций. На рис. 4.4 а продемонстрировано 32-разрядное представление чисел с плавающей запятой. Знак числа задается в первом разряде, за ним следует представление порядка (по основанию 2). Вместо числа со знаком в поле порядка E хранится целое число без знака E' = E + 127. Этот формат называется форматом, с избытком 127. Таким образом, E' входит в диапазон 0≤Е’≤255. Граничные значения указанного диапазона, 0 и 255, употребляются для представления описанных ниже специальных значений. Для обычных (нормальных) значений E' лежит в пределах 1≤ E’≤254. Это означает, что реальный порядок, E, находится в диапазоне -126 ≤ E ≤ 127. Представление порядка в формате с избытком х упрощает, сравнение относительного размера двух чисел с плавающей запятой.
Последние 23 разряда числа представляют мантиссу. Поскольку числа задаются в нормализованном виде, старший бит мантиссы всегда равен 1. Этот бит не указывается явно; подразумевается, что он располагается слева от двоичной запятой. Таким образом, 23 бита в поле M соответствуют дробной части мантиссы, то есть разрядам справа от двоичной запятой. Пример числа с плавающей запятой одинарной точности приведен на рис. 4.4, б.
Стандартное 32-разрядное представление (рис. 4.4, а) называется представлением с одинарной точностью, поскольку занимает одно 32-разрядное слово. Оно позволяет представлять масштабные множители в диапазоне от 2-126 до 2+127, что приблизительно равно 10±38. Значение 24-разрядной мантиссы обеспечивает примерно ту же точность, что и семизначное десятичное значение. Для достижения большей точности и увеличения диапазона чисел с плавающей запятой стандарт IEEE определяет формат двойной точности (рис. 4.4, в). В нем расширены диапазоны значений мантиссы и порядка. Так, 11-разрядный порядок в формате с избытком 1023 E’ лежит в диапазоне 1 ≤ Е' ≤ 2046 для обычных значений, а значения 0 и 2047 употребляются для представления специальных символов. Следовательно, действительный порядок E лежит в диапазоне -1022 ≤ E ≤ 1023, позволяющем представить масштабные множители от 2-1022 до 21023 (то есть приблизительно 10±308). Значения 53-разрядной мантиссы обеспечивают практически ту же точность, что и 16 десятичных цифр.
Чтобы компьютер соответствовал стандарту IEEE, он должен поддерживать как минимум представление чисел с плавающей запятой одинарной точности. Представление двойной точности необязательно. Этот стандарт определяет еще несколько необязательных расширенных версий обоих форматов. Они предназначены для повышения точности и порядка представления промежуточных результатов последовательных вычислений. Например, внутреннее произведение двух векторов можно вычислить путем накопления суммы произведений с расширенной точностью. Входные значения имеют стандартную точность, одинарную или двойную; результат округляется до той же точности. Благодаря расширенным форматам можно сократить погрешность округления, которая накапливается при многократных однотипных вычислениях. Кроме того, расширенные форматы повышают точность вычисления таких элементарных функций, как синус, косинус и т. п. Наряду с четырьмя базовыми арифметическими операциями стандарт IEEE определяет операции вычисления остатка от деления, квадратного корня, преобразования из двоичного кода в десятичный и наоборот.
Знак 8-разрядный 23-разрядная дробная
числа порядок со знаком часть мантиссы
в формате
с избытком 127
Представленное значение = ±l.M х 2E’-127
а
Представленное значение = 1,001010 ... 0 х 2-87
б
Знак 11-разрядный 52-разрядная
Числа порядок в формате дробная часть мантиссы
с избытком 1023
Представленное значение = ±l.М х 2Е’-1023
в
Рис. 4.4. Представления чисел с плавающей запятой, определенные в стандарте IEEE: формат числа с одинарной точностью (а); пример числа с одинарной точностью (б); формат числа с двойной точностью (в)
Порядок в формате с избытком 127
(Слева от двоичной запятой нет явно заданной 1)
Представленное значение = +0,0010110... х 29
а
Представленное значение = +1,0110... х 26
б
Рис. 4.5. Число с плавающей запятой в формате IEEE одинарной точности:
ненормализованное (а); нормализованное (б)
Существует два момента, касающихся чисел с плавающей запятой, которые заслуживают особого внимания.
Во-первых, если число не нормализовано, его всегда можно привести к нормальной форме, сдвинув дробную часть и соответствующим образом изменив порядок. На рис. 4.5 вы видите ненормализованное значение 0,0010110... х 29 и его нормализованное представление 1,0110... х 26. Поскольку масштабный множитель представлен в формате 2i, сдвиг мантиссы на один разряд вправо или влево компенсируется увеличением или уменьшением порядка на единицу.
Во-вторых, в ходе вычислений может быть сгенерировано число, выходящее за рамки диапазона нормальных чисел. Если точность одинарная, это означает, что для представления нормализованного числа потребуется порядок менее -126 или более +127. В первом случае говорят о потере значимости или отрицательном переполнении (underflow), а во втором — о переполнении (overflow). И потеря значимости, и переполнение являются арифметическими исключениями, о которых мы поговорим чуть позже.
Специальные значения
Граничные значения 0 и 255 порядка Е' формате с избытком 127 используются для представления специальных значений. Если E' = 0 и дробная часть мантиссы M равна нулю, значит, представлено точное значение 0. Порядок E' = 255 и мантисса M = 0 представляют значение ∞, где ∞ — результат деления нормального числа на нуль. Для представления этих значений обычно применяется и знаковый разряд, например: ±0 и ±∞.
Значения Е' = 0 и М ≠ 0 соответствуют представлению анормальных чисел. Это числа ±0,М х 2-126, которые меньше самого маленького числа. У них отсутствует подразумеваемая единица слева от двоичной запятой, a M представляет собой любую ненулевую 23-разрядную дробную часть числа. Анормальные числа предназначены для случаев, когда возможна постепенная потеря значимости; они расширяют диапазон представляемых чисел и могут быть полезны при работе с очень маленькими числами. Когда E'=255 и M ≠ 0, представленное значение называется Not a Number (NaN). Значение NaN является результатом выполнения недопустимой операции, такой как 0/0 или √-1.
Исключения
Согласно стандарту IEEE, если в ходе работы произойдет потеря значимости, переполнение или деление на нуль, встретится условие inexact либо invalid, процессор должен установить флаг исключения. О первых трех условиях исключений мы уже упоминали. Inexact — это ситуация, когда для представления результата в одном из нормальных форматов его необходимо округлить. Термин invalid употребляется для описания ситуации, когда предпринимается попытка выполнения недопустимой операции, такой как 0/0 или √-1. При возникновении одной из указанных исключительных ситуаций результату присваивается специальное значение.
Если установлен флаг разрешения соответствующего прерывания, в исключительной ситуации происходит переход к системной или пользовательской программе обработки этого прерывания. В качестве альтернативы прикладная программа может сама проверять, нет ли исключений, и производить те или иные операции в соответствии с результатами проверки.