topology / Лист Мебиуса / Невозможный мир Статьи Лента Мебиуса

Невозможный мир: Статьи: Лента Мебиуса .fb_hidden{position:absolute;top:-10000px;z-index:10001} .fb_invisible{display:none} .fb_reset{background:none;border-spacing:0;border:0;color:#000;cursor:auto;direction:ltr;font-family:"lucida grande", tahoma, verdana, arial, sans-serif;font-size: 11px;font-style:normal;font-variant:normal;font-weight:normal;letter-spacing:normal;line-height:1;margin:0;overflow:visible;padding:0;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0;text-shadow:none;text-transform:none;visibility:visible;white-space:normal;word-spacing:normal} .fb_link img{border:none} .fb_dialog{background:rgba(82, 82, 82, .7);position:absolute;top:-10000px;z-index:10001} .fb_dialog_advanced{padding:10px;-moz-border-radius:8px;-webkit-border-radius:8px} .fb_dialog_content{background:#fff;color:#333} .fb_dialog_close_icon{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yq/r/IE9JII6Z1Ys.png) no-repeat scroll 0 0 transparent;_background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yL/r/s816eWC-2sl.gif);cursor:pointer;display:block;height:15px;position:absolute;right:18px;top:17px;width:15px;top:8px\9;right:7px\9} .fb_dialog_mobile .fb_dialog_close_icon{top:5px;left:5px;right:auto} .fb_dialog_padding{background-color:transparent;position:absolute;width:1px;z-index:-1} .fb_dialog_close_icon:hover{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yq/r/IE9JII6Z1Ys.png) no-repeat scroll 0 -15px transparent;_background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yL/r/s816eWC-2sl.gif)} .fb_dialog_close_icon:active{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yq/r/IE9JII6Z1Ys.png) no-repeat scroll 0 -30px transparent;_background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yL/r/s816eWC-2sl.gif)} .fb_dialog_loader{background-color:#f2f2f2;border:1px solid #606060;font-size: 24px;padding:20px} .fb_dialog_top_left, .fb_dialog_top_right, .fb_dialog_bottom_left, .fb_dialog_bottom_right{height:10px;width:10px;overflow:hidden;position:absolute} .fb_dialog_top_left{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/ye/r/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 0;left:-10px;top:-10px} .fb_dialog_top_right{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/ye/r/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 -10px;right:-10px;top:-10px} .fb_dialog_bottom_left{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/ye/r/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 -20px;bottom:-10px;left:-10px} .fb_dialog_bottom_right{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/ye/r/8YeTNIlTZjm.png) no-repeat 0 -30px;right:-10px;bottom:-10px} .fb_dialog_vert_left, .fb_dialog_vert_right, .fb_dialog_horiz_top, .fb_dialog_horiz_bottom{position:absolute;background:#525252;filter:alpha(opacity=70);opacity:.7} .fb_dialog_vert_left, .fb_dialog_vert_right{width:10px;height:100%} .fb_dialog_vert_left{margin-left:-10px} .fb_dialog_vert_right{right:0;margin-right:-10px} .fb_dialog_horiz_top, .fb_dialog_horiz_bottom{width:100%;height:10px} .fb_dialog_horiz_top{margin-top:-10px} .fb_dialog_horiz_bottom{bottom:0;margin-bottom:-10px} .fb_dialog_iframe{line-height:0} .fb_dialog_content .dialog_title{background:#6d84b4;border:1px solid #3b5998;color:#fff;font-size: 14px;font-weight:bold;margin:0} .fb_dialog_content .dialog_title > span{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yd/r/Cou7n-nqK52.gif) no-repeat 5px 50%;float:left;padding:5px 0 7px 26px} body.fb_hidden{-webkit-transform:none;height:100%;margin:0;left:-10000px;overflow:visible;position:absolute;top:-10000px;width:100% } .fb_dialog.fb_dialog_mobile.loading{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yO/r/_j03izEX40U.gif) white no-repeat 50% 50%;min-height:100%;min-width:100%;overflow:hidden;position:absolute;top:0;z-index:10001} .fb_dialog.fb_dialog_mobile.loading.centered{max-height:590px;min-height:590px;max-width:500px;min-width:500px} #fb-root #fb_dialog_ipad_overlay{background:rgba(0, 0, 0, .45);position:absolute;left:0;top:0;width:100%;min-height:100%;z-index:10000} #fb-root #fb_dialog_ipad_overlay.hidden{display:none} .fb_dialog.fb_dialog_mobile.loading iframe{visibility:hidden} .fb_dialog_content .dialog_header{-webkit-box-shadow:white 0 1px 1px -1px inset;background:-webkit-gradient(linear, 0 0, 0 100%, from(#738ABA), to(#2C4987));border-bottom:1px solid;border-color:#1d4088;color:#fff;font:14px Helvetica, sans-serif;font-weight:bold;text-overflow:ellipsis;text-shadow:rgba(0, 30, 84, .296875) 0 -1px 0;vertical-align:middle;white-space:nowrap} .fb_dialog_content .dialog_header table{-webkit-font-smoothing:subpixel-antialiased;height:43px;width:100% } .fb_dialog_content .dialog_header td.header_left{font-size: 12px;padding-left:5px;vertical-align:middle;width:60px } .fb_dialog_content .dialog_header td.header_right{font-size: 12px;padding-right:5px;vertical-align:middle;width:60px } .fb_dialog_content .touchable_button{background:-webkit-gradient(linear, 0 0, 0 100%, from(#4966A6), color-stop(0.5, #355492), to(#2A4887));border:1px solid #29447e;-webkit-background-clip:padding-box;-webkit-border-radius:3px;-webkit-box-shadow:rgba(0, 0, 0, .117188) 0 1px 1px inset, rgba(255, 255, 255, .167969) 0 1px 0;display:inline-block;margin-top:3px;max-width:85px;line-height:18px;padding:4px 12px;position:relative} .fb_dialog_content .dialog_header .touchable_button input{border:none;background:none;color:#fff;font:12px Helvetica, sans-serif;font-weight:bold;margin:2px -12px;padding:2px 6px 3px 6px;text-shadow:rgba(0, 30, 84, .296875) 0 -1px 0} .fb_dialog_content .dialog_header .header_center{color:#fff;font-size: 16px;font-weight:bold;line-height:18px;text-align:center;vertical-align:middle} .fb_dialog_content .dialog_content{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/y9/r/jKEcVPZFk-2.gif) no-repeat 50% 50%;border:1px solid #555;border-bottom:0;border-top:0;height:150px} .fb_dialog_content .dialog_footer{background:#f2f2f2;border:1px solid #555;border-top-color:#ccc;height:40px} #fb_dialog_loader_close{float:left} .fb_dialog.fb_dialog_mobile .fb_dialog_close_button{text-shadow:rgba(0, 30, 84, .296875) 0 -1px 0} .fb_dialog.fb_dialog_mobile .fb_dialog_close_icon{visibility:hidden} .fb_iframe_widget{position:relative;display:-moz-inline-block;display:inline-block} .fb_iframe_widget iframe{position:relative;vertical-align:text-bottom} .fb_iframe_widget span{position:relative} .fb_hide_iframes iframe{position:relative;left:-10000px} .fb_iframe_widget_loader{position:relative;display:inline-block} .fb_iframe_widget_loader iframe{min-height:32px;z-index:2;zoom:1} .fb_iframe_widget_loader .FB_Loader{background:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/y9/r/jKEcVPZFk-2.gif) no-repeat;height:32px;width:32px;margin-left:-16px;position:absolute;left:50%;z-index:4} .fb_button_simple, .fb_button_simple_rtl{background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yH/r/eIpbnVKI9lR.png);background-repeat:no-repeat;cursor:pointer;outline:none;text-decoration:none} .fb_button_simple_rtl{background-position:right 0} .fb_button_simple .fb_button_text{margin:0 0 0 20px;padding-bottom:1px} .fb_button_simple_rtl .fb_button_text{margin:0 10px 0 0} a.fb_button_simple:hover .fb_button_text, a.fb_button_simple_rtl:hover .fb_button_text, .fb_button_simple:hover .fb_button_text, .fb_button_simple_rtl:hover .fb_button_text{text-decoration:underline} .fb_button, .fb_button_rtl{background:#29447e url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yL/r/FGFbc80dUKj.png);background-repeat:no-repeat;cursor:pointer;display:inline-block;padding:0 0 0 1px;text-decoration:none;outline:none} .fb_button .fb_button_text, .fb_button_rtl .fb_button_text{background:#5f78ab url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yL/r/FGFbc80dUKj.png);border-top:solid 1px #879ac0;border-bottom:solid 1px #1a356e;color:#fff;display:block;font-family:"lucida grande",tahoma,verdana,arial,sans-serif;font-weight:bold;padding:2px 6px 3px 6px;margin:1px 1px 0 21px;text-shadow:none} a.fb_button, a.fb_button_rtl, .fb_button, .fb_button_rtl{text-decoration:none} a.fb_button:active .fb_button_text, a.fb_button_rtl:active .fb_button_text, .fb_button:active .fb_button_text, .fb_button_rtl:active .fb_button_text{border-bottom:solid 1px #29447e;border-top:solid 1px #45619d;background:#4f6aa3;text-shadow:none} .fb_button_xlarge, .fb_button_xlarge_rtl{background-position:left -60px;font-size: 24px;line-height:30px} .fb_button_xlarge .fb_button_text{padding:3px 8px 3px 12px;margin-left:38px} a.fb_button_xlarge:active{background-position:left -99px} .fb_button_xlarge_rtl{background-position:right -268px} .fb_button_xlarge_rtl .fb_button_text{padding:3px 8px 3px 12px;margin-right:39px} a.fb_button_xlarge_rtl:active{background-position:right -307px} .fb_button_large, .fb_button_large_rtl{background-position:left -138px;font-size: 13px;line-height:16px} .fb_button_large .fb_button_text{margin-left:24px;padding:2px 6px 4px 6px} a.fb_button_large:active{background-position:left -163px} .fb_button_large_rtl{background-position:right -346px} .fb_button_large_rtl .fb_button_text{margin-right:25px} a.fb_button_large_rtl:active{background-position:right -371px} .fb_button_medium, .fb_button_medium_rtl{background-position:left -188px;font-size: 11px;line-height:14px} a.fb_button_medium:active{background-position:left -210px} .fb_button_medium_rtl{background-position:right -396px} .fb_button_text_rtl, .fb_button_medium_rtl .fb_button_text{padding:2px 6px 3px 6px;margin-right:22px} a.fb_button_medium_rtl:active{background-position:right -418px} .fb_button_small, .fb_button_small_rtl{background-position:left -232px;font-size: 10px;line-height:10px} .fb_button_small .fb_button_text{padding:2px 6px 3px;margin-left:17px} a.fb_button_small:active, .fb_button_small:active{background-position:left -250px} .fb_button_small_rtl{background-position:right -440px} .fb_button_small_rtl .fb_button_text{padding:2px 6px;margin-right:18px} a.fb_button_small_rtl:active{background-position:right -458px} .fb_share_count_wrapper{position:relative;float:left} .fb_share_count{background:#b0b9ec none repeat scroll 0 0;color:#333;font-family:"lucida grande", tahoma, verdana, arial, sans-serif;text-align:center} .fb_share_count_inner{background:#e8ebf2;display:block} .fb_share_count_right{margin-left:-1px;display:inline-block} .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{border-top:solid 1px #e8ebf2;border-bottom:solid 1px #b0b9ec;margin:1px 1px 0 1px;font-size: 10px;line-height:10px;padding:2px 6px 3px;font-weight:bold} .fb_share_count_top{display:block;letter-spacing:-1px;line-height:34px;margin-bottom:7px;font-size: 22px;border:solid 1px #b0b9ec} .fb_share_count_nub_top{border:none;display:block;position:absolute;left:7px;top:35px;margin:0;padding:0;width:6px;height:7px;background-repeat:no-repeat;background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yU/r/bSOHtKbCGYI.png)} .fb_share_count_nub_right{border:none;display:inline-block;padding:0;width:5px;height:10px;background-repeat:no-repeat;background-image:url(http://static.ak.fbcdn.net/rsrc.php/v1/yX/r/i_oIVTKMYsL.png);vertical-align:top;background-position:right 5px;z-index:10;left:2px;margin:0 2px 0 0;position:relative} .fb_share_no_count{display:none} .fb_share_size_Small .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{font-size: 10px} .fb_share_size_Medium .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{font-size: 11px;padding:2px 6px 3px;letter-spacing:-1px;line-height:14px} .fb_share_size_Large .fb_share_count_right .fb_share_count_inner{font-size: 13px;line-height:16px;padding:2px 6px 4px;font-weight:normal;letter-spacing:-1px} .fb_share_count_hidden .fb_share_count_nub_top, .fb_share_count_hidden .fb_share_count_top, .fb_share_count_hidden .fb_share_count_nub_right, .fb_share_count_hidden .fb_share_count_right{visibility:hidden} .fb_connect_bar_container div, .fb_connect_bar_container span, .fb_connect_bar_container a, .fb_connect_bar_container img, .fb_connect_bar_container strong{background:none;border-spacing:0;border:0;direction:ltr;font-style:normal;font-variant:normal;letter-spacing:normal;line-height:1;margin:0;overflow:visible;padding:0;text-align:left;text-decoration:none;text-indent:0;text-shadow:none;text-transform:none;visibility:visible;white-space:normal;word-spacing:normal;vertical-align:baseline} .fb_connect_bar_container{position:fixed;left:0 !important;right:0 !important;height:42px !important;padding:0 25px !important;margin:0 !important;vertical-align:middle !important;border-bottom:1px solid #333 !important;background:#3b5998 !important;z-index:99999999 !important;overflow:hidden !important} .fb_connect_bar_container_ie6{position:absolute;top:expression(document.compatMode=="CSS1Compat"? document.documentElement.scrollTop+"px":body.scrollTop+"px")} .fb_connect_bar{position:relative;margin:auto;height:100%;width:100%;padding:6px 0 0 0 !important;background:none;color:#fff !important;font-family:"lucida grande", tahoma, verdana, arial, sans-serif !important;font-size: 13px !important;font-style:normal !important;font-variant:normal !important;font-weight:normal !important;letter-spacing:normal !important;line-height:1 !important;text-decoration:none !important;text-indent:0 !important;text-shadow:none !important;text-transform:none !important;white-space:normal !important;word-spacing:normal !important} .fb_connect_bar a:hover{color:#fff} .fb_connect_bar .fb_profile img{height:30px;width:30px;vertical-align:middle;margin:0 6px 5px 0} .fb_connect_bar div a, .fb_connect_bar span, .fb_connect_bar span a{color:#bac6da;font-size: 11px;text-decoration:none} .fb_connect_bar .fb_buttons{float:right;margin-top:7px} .fb_edge_widget_with_comment{position:relative;*z-index:1000} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_edge_comment_widget{position:absolute} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_edge_comment_widget iframe.fb_ltr{left:-4px} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_edge_comment_widget iframe.fb_rtl{left:2px} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget{left:0;z-index:1} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget .FB_Loader{left:0;top:1px;margin-top:6px;margin-left:0;background-position:50% 50%;background-color:#fff;height:150px;width:394px;border:1px #666 solid;border-bottom:2px solid #283e6c;z-index:1} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget.dark .FB_Loader{background-color:#000;border-bottom:2px solid #ccc} .fb_edge_widget_with_comment span.fb_send_button_form_widget.siderender .FB_Loader{margin-top:0} .fbpluginrecommendationsbarleft, .fbpluginrecommendationsbarright{position:fixed !important;bottom:0;z-index:999} /* @noflip */ .fbpluginrecommendationsbarleft{left:10px} /* @noflip */ .fbpluginrecommendationsbarright{right:10px} Лента Мебиуса printSwitchLanguage("eng"); printMainMenu(); Разделы Искусство

Анимация

Библиотека фигур

Статьи

Программы

Ссылки

Новости

О проекте

Поиск авторов

Сообщество

   printAdvertisingStart(); printAdvertisingEnd(); printCounter(); printEmptyLine();     

Лента Мебиуса, сделанная из листа бумаги и клейкой ленты Лента Мебиуса (Möbius strip) - трехмерная поверхность, имеющая только одну сторону и одну границу, обладающая математическим свойством неориентируемости. Она была открыта независимо одновременно двумя математиками из Германии Августом Фердинандом Мёбиусом (August Ferdinand Möbius) и Иоганном Бенедиктом Листингом (Johann Benedict Listing) в 1858 году.

Модель ленты Мебиуса может быть легко создана из полоски бумаги, повернув один из концов полоски вполоборота и соединив его с другим концом в замкнутую фигуру. Если начать рисовать карандашом линию на поверхности ленты, то линия уйдет вглубь фигуры и пройдет под начальной точкой линии, как уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернется в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мебиуса лишь одна сторона и одна граница.

В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мебиуса, развернутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки.

Геометрия и математика

Параметрическое изображение ленты Мебиуса Лента Мебиуса может быть представленная параметрической системой уравнений:

где и . Этими уравнениями описывается лента Мебиуса шириной 1, лежащая в плоскости x-y; внутренний радиус окружности которой равен 1, центр внутренней окружности находится в начале координат (0,0,0). Параметр u движется вдоль ленты, а параметр v - от одной границы к другой.

Для получения ленты Мебиуса необходимо совместить два конца полоски так, чтобы направления красных стрелок совпали. Иным способом ленту можно представить выражением в полярных координатах:

Топологически, лента Мебиуса может быть определена как квадрат [0,1] x [0,1], верх которого соединен с низом в соотношении (x,0) ~ (1-x,1) for 0 ≤ x ≤ 1, как показано на рисунке справа.

Близкие объекты Тесно связанным с лентой Мебиуса является загадочный объект - бутылка Кляйна. Бутылка Кляйна может быть создана склеиванием двух лент Мебиуса друг с другом  вдоль их границ. Эта операция не может быть произведена в трехмерном пространстве без создания пересечений внутри фигуры.

Одна из базовых невозможных фигур невозможный треугольник может быть представлен как лента Мебиуса, если сгладить некоторое его грани. При этом получится лента Мебиуса, описывающая три витка.

Искусство

Интернациональный символ повторного использования

Логотип The Power Architecture  Лента Мебиуса вдохновила многих художников на создание известных скульптур и картин. Голландский художник М.К. Эшер создан несколько литографий с использованием ленты. Один из известнейших примеров - литография "Лента Мебиуса II", в которой красные муравьи бесконечно ползут по ленте. (см. статью "Математическое искусство М.К. Эшера").

Также лента Мебиуса часто используется в изображениях различных логотипах и торговых марках. Самых яркий пример - международный символ повторного использования.

Приложение. Картины с лентами Мебиуса Картина ниже Пола Билацика (Paul Bielaczyc) называется "Кельтская лента Мебиуса Как говорит автор, эта картина - объединение различных аспектов его жизни. Кельтские узлы окружают его в его работе, картины М.К. Эшера всегда служат источником вдохновения, а лента Мебиуса имеет отношение к предмету, изучаемому художником.

Кельтская лента Мебиуса printBottom(); © Идея и дизайн Влада Алексеева, 2001-2011. (impossible.world@gmail.com) | Политика конфиденциальности

Перепечатка материалов сайта приветствуется со ссылкой на сайт.

Если у вас есть изображения невозможных фигур, неопубликованных на сайте, пожалуйста, присылайте их мне._uacct = "UA-1090948-1";urchinTracker();