Chast_2_2_l_6-8

86

A 1 2 A 0 c2 t2

(в той части пространства, где 0 ). Поля B и E в этих случаях будут выражаться так

B rot A , E A .

t

Калибровка (2.85) называется кулоновской калибровкой. Таким образом,

свободное поле ( 0, 0 ) описывается одним векторным потенциалом,

удовлетворяющим однородному волновому уравнению и условию калибровки

Вопросы и задачи к лекции 7

93-1. Дайте определение векторного потенциала электромагнитного поля

94-2. Магнитное поле B изменяется по закону B ex Bx ex Bm sin t

(рис. 2.45). Найдите какой-либо векторный потенциал этого поля

Рис. 2.45. Пример определения векторного потенциала по заданной индукции магнитного поля

87

95-3. Дайте определение скалярного потенциала электромагнитного поля.

96-4. Что называют калибровочными градиент-преобразованиями электродинамических потенциалов? Какие величины электромагнитного поля они не изменяют?

97-5. Сформулируйте условие калибровки Лоренца.

98-6. Запишите дифференциальные уравнения для электродинамических потенциалов, которые получаются при использовании калибровки Лоренца.

99-7. Что такое укороченные калибровочные градиент-преобразования?

100-8. Сформулируйте условия калибровки Кулона.

101-9. Однородный проводящий шар находится в однородном переменном во времени магнитном поле. Какую калибровку целесообразно применить при решении этой задачи с помощью электродинамических потенциалов?

Лекция 8

20. Электромагнитное поле произвольно движущихся зарядов.

Запаздывающие потенциалы

Рассмотрим систему зарядов, совершающих произвольное движение в некотором ограниченном объеме V (рис. 2.46).

Рис. 2.46. Система зарядов, совершающая произвольное движение в ограниченном объеме.

88

Распределение и движение зарядов в этом объеме будем характеризовать плотностью заряда P,t и плотностью тока P,t . Эти величины заданы для любой точки Р объема V и любого момента времени t . Вначале,

однако, мы найдем поле, обусловленное источниками заданными для моментов времени 0 t , т.е. будем считать заданными P,t и P, t для 0 t ,

где М – точка наблюдения.

Уравнения, которым удовлетворяют потенциалы и A :

Будем рассматривать поле только движущихся зарядов этого элементарного объема Vi . Далее воспользуемся принципом суперпозиции.

89

Введем сферическую систему координат с началом, помещенным в объеме Vi . Очевидно, скалярное поле i , обусловленное зарядами этого объема, обладает сферической симметрией. Учитывая это запишем уравнение для i в сферических координатах:

Интегрирование этого уравнения произведем по методу Даламбера.

Метод Даламбера заключается в сведении уравнения в частных производных такого типа к уравнению со смешанной второй производной.

Перепишем уравнение в таком виде:

Далее:

90

Таким образом, в новых переменных уравнение имеет вид:

2 i 0 ,

или:

i 0 .

После первого интегрирования этого уравнения получим:

i i*** .

После второго интегрирования получаем:

i i*** d i* .

Или:

i i* i** .

Возвращаясь к старым независимым переменным, получаем:

процесс. Волна распространяется в сторону возрастающих значений расстояния

91

Сферы являются поверхностями равных значений i . Т.е. скалярный потенциал

i представляет собой совокупность расходящихся и сходящихся сферических волн.

Попробуем удовлетворить начальному условию (2.86) только с помощью

первой функции из (2.88). Для малых r эта функция равна

Следовательно, функция i* M ,t удовлетворяет начальному условию (2.86).

Если использовать только второе слагаемое (2.88) то по аналогии получим:

92

каждой точки P до точки наблюдения М (оно разное для разных точек P ). В

связи с этим потенциал (2.89) называют запаздывающим скалярным потенциалом.

Для получения выражения для векторного потенциала запишем дифференциальные уравнения для х-овой компоненты этого потенциала:

Ax 1 2 Ax 0 x в V , c2 t2

Ax 1 2 Ax 0 вне V . c2 t2

93

Сравним эти уравнения с уравнениями для скалярного потенциала.