Пример автоколебаиия

Рассмотрим уравнение:

, (*)

в котором функция удовлетворяет условиям:

и .

Уравнение (*) описывает движения некоторой консервативной системы с одной степенью свободы. В малой окрестности положения равновесия уравнение (*) определяет колебательые движения, которые происходят с постоянной амплитудой. Фазовая плоскость этого уравнения в окрестности этой точки целиком заполнена замкнутыми кривыми. Будем называть некоторую силу , зависящую только от скорости, диссипативной, если для любого она удовлетворяет условию:

. (**)

Преположим теперь, что колебания маятника приходят под действием консервативний силы и диссипативной силы, гденекоторый малый параметр:

. (***)

Если теперь умножить (***) на , то оно примет вид:

,

где полная энергия маятника:

.

Так как имеет место неравенство (**), то в любой момент времени:

,

причем равенство имеет место только для тех значений , для которых . Таким образом, колебания происходящие под действием консервативной и диссипативной силы затухают. Рассмотрим фазовую плоскость уравнения (***).

(рис.1)

Пусть в некоторый момент времени система находится в состоянииНачальное значение энергии будет. По прошествии некоторого времени изображающая точка, двигаясь вдоль фазовой траектории, совершит полный оборот вокруг начала координат и снова пересечет ось ординат в некоторой точке, причем. Следовательно,. Заметим еще, что две фазовые траектории не могут пересекатьсячерез каждую точку фазовой плоскости, которая не является особой, проходит только одна фазовая траектория. Система (***) имеет только одну особую точкуначало координат. Таким образом, фазовый портрет уравнения (***) имеет вид, изображенный на рис.1. Начало координат является особой точкой типа фокус. Изображающая точка движется в направлении, указанном стрелкой . Фазовые траектории наматываются на фокус. Следовательно, в рассматриваемом случае фокус будет устойчивой особой точкой.

Алгоритм построения автоколебательных режимов в случае квазилинейных систем

На основе учебника Н.Н. Моисеева [1] (стр. 79-96) начнем изучение эффективных методов построения автоколебательных режимов с иследования квазилинейных уравнения вида:

. (1)

Следует ожидать, что период автоколебательного режима зависит от параметра :

причем условимся называть частотой. Будем искать режимы, частота которых обладает следующим свойством:

.

На этом основании положим:

(2)

и сделаем замену независимого переменного:

. (3)

Значению отвечает значение т.е период искомого решения относительно новой переменной теперь снова фиксированнойон равен. Числадолжны быть определены в процессе построения решения. Перепишем уравнение (1), сделав в нем замену (2):

. (4)

Поскольку уравнение (1) и (4) не содержат времени и уравнение (4) инвариантно относительно преобразования , нам достаточно рассмотреть следующую задачу Коши:

. (5)

Заметим, что величина также заранее неизвестна. Итак, мы пришли к задаче отыскания числаи периодического решения уравнения (4) периода, которое определяется этим числом. Решение такой задачи будем искать в виде ряда, расположенного по степеням параметра:

. (6)

Функции удовлетворяют следующим уравнениям:

, (7)

. (8)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Выпишем общее решение уравнения (7):

,

но в силу (5) , т.е.

. (9)

Величина апмлитуда порождающего решения нам неизвестна. На этом шаге алгоритма она остается неопределенной. Рассмотрим теперь уравнение (8). Его можно переписать в виде:

, (10)

где

и является некоторой периодической функцией периода. Для того, чтобы уравнение (10) допускало периодические решения, необходима и достаточна ортогональность правой части этого уравнения функциямии:

, (11)

. (12)

Первое из этих уравнений представляет собой некоторое трансцендентное¹уравнения для определенияамплитуды порождающего решения. Уравнение может вообще не иметь решения. Это будет в том случае, когда система (1) не допускает автоколебательных режимов, например в том случае когда силаявляется диссипативной². Уравнение (11) может вообще не иметь конечное число решений. Уравнение (11) может оказаться тождеством, справедливым для любого значения. Такая ситуация имеет место всякий раз, когда «возмущающая», функцияявляется консервативной³. В самом деле, пустьтогда:

.

Функция четная периодическая функцияпериода. Следовательно, она разлагается в ряд Фурье, содержащий толькои следовательно, в силу ортогональностиидля любого:

.

Условимся в дальнейшем считать, что это отличный от нуля корень уравнения (11) кратности еденицы, могут быть рассмотрены и более общие случаи. Однако при этом может оказаться, что решение нельзя представить в виде рядов (6); функциядолжна быть представлена в виде ряда, расположенного по дробным степеням параметра. Тогда уравнение (12) определяет единственное значение. Таким образом, на этом шаге алгоритм позволяет определить амплитуду порождающего решения и первую поправку на частоту, т.е. полностью рассчитать нулевое приближением. Если ограничиться нулевым приближением, то мы получим приближеное решение в виде:

. (13)

Вернемся теперь снова к уравнению (8). Определив и из уравнений (11) и (12), мы пришли к уравнению, в котором правая частьэто периодическая функция времени. Эта функция обладает тем свойством, что она не содержит первых членов разложения в ряд Фурье⁴. Уравнение (8) теперь можно переписать в виде:

где некоторые известные числа.

Его решение имеет вид:

, (14)

где периодическая функция, разложение которой не содержит и :

.

Функция удовлетворяет условию:

,

которое позволяет вычислить постоянную :

. (15)

Постояная в этом приближении определена быть не может. Следовательно, для того чтобы определить решение с точностью до членов, содержащих, необходимо рассмотреть второе приближение.

Уранение для имеет вид:

, (16)

где

причем функция, не содержащая величин и:

.

Здесь означает производную по аргумену. Функции, и вычислены при.

Преобразуем уравнение (16), заменив в нем величины иих выражениями (9) и (14):

, (17)

где

,

является известной функцией времени. Заметим, что величина, входящая в уравнение (17), также известна; она определяется формулой (15).

Выпишем теперь условия существования периодических решений. Их можно представить в следующем виде:

,

.

(18)

Преобразуем уравнение (18). Сначала рассмотрим второй интеграл, входящий в первое их этох уравнений, и проинтегрируем его по частям:

поскольку амплитуда с является корнем уравнения (11). Преобразуем теперь первый из интегралов, входящих в это уравнение:

.

Для этого заметим сначала, что:

,

т.е выражение можно переписать так:

.

Рассмотрим теперь равенство (12) и перепишем его в следующей форме [3]:

.

Дифференцируя это выражение по с, получим:

.

Таким образом, первое из уравнений (19) в окончательном виде будет иметь следующую форму:

. (19)

Преобразуем теперь второе уравнение (18). Прежде всего перепишем его в виде:

.

Используя (11), получим:

.

Далее

.

Таким образом, в окончательном виде это уравнение будет иметь следующий вид:

. (20)

Так как простой нуль функций⁵, то, и уравнение (16) определяет единственное значение. После определениявеличинаопределяется также единственным образом по формуле (19).

Определив исогласно (19) и (20), мы обеспечим разрешимость уравнения (16):

,

где некоторая периодическая функцияпериода. Постоянная определяется из условия:

.

Постоянная в этом приближении остается неопределенной. Если мы хотим построить решение, учитывающее второе прибижение, то нужно рассмотреть также и третье приближение и т.д.

Легко видеть, что этот процесс можно неограниченно продолжить и вычислить любой член разложения (10). Заметим, что только на первом шаге нам приходится решать нелинейное уравнение , которое имеет, вообще говоря, произвольное количество решений. Но определив амплитуду порождающего решения, мы в дальнейшем имееем дело только с линейными уравнениями и все остальные искомые величины определяются однозначно. Заметим еще, найденное решение удовлетворяет следующим начальным условиям:

,

где это корень уравнения. Это решение при переходит в решение уравнения:

,

определенное начальными условиями:

,

т.е. в решение

.

Ряды (10), как это показал Пуанкаре, сходится для достаточно малых значений параметра .

ПРИМЕР:

В качестве примера рассмотрим известное уравнение Ван дер Поля:

(21)

и построим его возможные периодические режимы в нулевом приближении. После преобразования (2) уравнение (21) примет вид:

. (22)

Разыскивая решение в виде ряда (6), где функции удовлетворяют условиям (5), мы найдем, что:

,

а удовлетворяют уравнению:

. (22.1)

Раскладывая правую часть уравнения (22.1) в ряд Фурье получим:

. (23)

Для того чтобы уравнение (23) имело периодические решения периода , необходимо и достаточно, чтобы разложение правой части в ряд Фурье не содержало первых гармоник, т.е чтобы коэффициенты приибыли равны нулю. Это дает два уравнения для определенияи, откуда:

Таким образом, уравнение (22.1) имеет два стационарных режима:

, . (24)

Первый из стационарных режимов это состояния покоя. Второй стационарный режимэто режим автоколебаний. Мы видим, что уравнение (21) допускает автоколебательный режим только в том случае, когда положительно.