Lektsii_Rubleva_1 / Гл 11 М_ра Лебега / Пар 12_3 Прост_ функц_ї теорема Луз_на
.docГлава 12.
ВИМІРНІ ФУНКЦІЇ.
ІНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.
12.3. Прості функції. Теорема Лузіна.
Числова функція , що визначена на вимірному просторі називається простою, якщо вона приймає лише скінчену кількість різних значень (ці значення вважаються скінченими).
Легко зрозуміти, що будь-яку просту функцію можна подати у вигляді лінійної комбінації характеристичних функцій диз’юнктної сукупності множин. І справді, якщо функція приймає значення , то покладемо , тоді:
, (1)
при цьому;
. (2)
Теорема 1. |
(Вимірність простої функції) |
|
Проста функція , що побудована для розбиття (1) дійсної осі , вимірна тоді і тільки тоді, коли усі множини вимірні. |
Необхідність. Якщо - вимірна, то кожна з множин вимірна як прообраз вимірної множини.
Достатність. Якщо усі множини вимірні, то за лемою 1 кожна з характеристичних функцій – вимірна, а тому й - вимірна лінійна комбінація вимірних функцій.
Теорема доведена.
Наслідок. |
(Комбінація простих функцій) |
|
Лінійна комбінація та добуток простих вимірних функцій також є простими вимірними функціями. |
Теорема 2. |
(Границя послідовності простих функцій) |
|
Для будь-якої вимірної функції , що задана на вимірному просторі , існує послідовність простих вимірних функцій, що збігаються до в кожній точці . Якщо функція - обмежена на , то послідовність можна вибрати рівномірно збіжною до на . Якщо ж , то можна таким чином вибрати послідовність функцій , щоб вона була неспадною. |
Доведення. Почнемо з невід’ємних функцій. Нехай , тоді покладемо:
(3)
Очевидно, що побудована послідовність складається з простих функцій, а також вона є неспадною. Вимірність функцій слідує безпосередньо з теореми 1. З’ясуємо її збіжність. Покажемо, що
. (4)
Якщо , то для достатньо великих будемо мати , а тому з (3) слідує, що , а тому й слідує (4) для цих значень. Якщо ж , то , що й треба було довести.
Якщо - обмежена, тобто , то при з (3) слідує: : , що й означає, що . Для невід’ємних функцій теорема доведена.
Якщо не знакостала, то розглянемо додатну та від’ємну частини функції :
, .
Оскільки - вимірні функції, то для них теорема вже доведена, а далі залишається скористатися властивістю: .
Теорема доведена.
Теорема 3. |
(Лузіна про С-властивість) |
|
Нехай вимірна за Лебегом множина скінченої міри і нехай функція - вимірна за Лебегом, а також майже всюди скінчена. Тоді існує замкнена множина така, що звуження функції на множину є неперервною функцією, і при цьому . |
Доведення. Розглянемо спочатку випадок простої вимірної функції , де простір - складений з вимірних множин. З відомих раніше тверджень існує замкнена множина : , а також покладемо . За побудовою - замкнена, крім того , а також , а тому . Крім того, звуження на - неперервне.
Нехай тепер - довільна вимірна функція. Побудуємо послідовність простих функцій , що збігається до на . З теореми Єгорова існує така вимірна множина : та на множині . Легко зрозуміти, що можна вважати множину замкненою. З першої частини теореми існує замкнена множина така, що , та звуження на множину - неперервне. Покладемо . З умови неперервності на та рівномірної збіжності слідує, що й гранична функція неперервна. Крім того .
Теорема доведена.