Математические основания квантовой механики [править]
Основная статья: Математические основы квантовой механики
Существует несколько различных эквивалентных математических описаний квантовой механики:
При помощи уравнения Шрёдингера;
При помощи операторных уравнений фон Неймана и уравнений Линдблада;
При помощи операторных уравнений Гейзенберга;
При помощи метода вторичного квантования;
При помощи интеграла по траекториям;
При помощи операторных алгебр, так называемая алгебраическая формулировка;
При помощи квантовой логики.
Шрёдингеровское описание [править]
Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях[1]:
Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами
комплексного сепарабельного гильбертова
пространства 
,
причем векторы 
и 
описывают
одно и то же состояние тогда
и только тогда,
когда 
,
где 
—
произвольное комплексное число.Каждой наблюдаемой можно однозначно сопоставить линейный самосопряжённый оператор. При измерении наблюдаемой
,
при чистом состоянии системы 
в
среднем получается значение, равное
где
через 
обозначается
скалярное произведение векторов 
и 
.
Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы определяется уравнением Шрёдингера
где 
— гамильтониан.
Основные следствия этих положений:
При измерении любой квантовой наблюдаемой, возможно получение только ряда фиксированных её значений, равных собственным значениям её оператора — наблюдаемой.
Наблюдаемые одновременно измеримы (не влияют на результаты измерений друг друга) тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряжённые операторы перестановочны.
Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Не все состояния квантовомеханических систем, однако, являются чистыми. В общем случае состояние системы является смешанным и описывается матрицей плотности, для которой справедливо обобщение уравнения Шрёдингера — уравнение фон Неймана (для гамильтоновых систем). Дальнейшее обобщение квантовой механики на динамику открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем приводит к уравнению Линдблада.
Стационарное уравнение Шрёдингера [править]
Пусть 
амплитуда
вероятности нахождения
частицы в точке М.
Стационарное уравнение Шрёдингера
позволяет ее определить.
Функция 
удовлетворяет
уравнению:
где 
—оператор
Лапласа,
а 
— потенциальная
энергия частицы
как функция 
.
Решение стационарного уравнения [показать]
Принцип неопределённости Гейзенберга [править]
Соотношение неопределённости возникает между любыми квантовыми наблюдаемыми, определяемыми некоммутирующими операторами.
Неопределенность между координатой и импульсом [править]
Пусть 
— среднеквадратическое
отклонение координаты
частицы 
,
движущейся вдоль оси 
,
и 
—
среднеквадратическое отклонение
ее импульса.
Величины
и 
связаны
следующим неравенством:
где 
—
постоянная Планка, а 
Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот. Те параметры, для которых такое утверждение справедливо, называются канонически сопряженными.