2. 1.Основні закони механіки та методи аналітичного опису механічних систем. Порівняльний аналіз механіки Ньютона, Лагранжа, Гамільтона

В основі механіки Ньютона лежать так звані закони Ньютона:

1. Існують такі системи відліку(СВ) в яких будь-яке тіло знаходиться у стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху такі системи відліку називаються інерціальними(ІСВ).

2. В інерціальних СВ (ІСВ) добуток маси матеріальної точки на її прискорення дорівнює діючий на неї силі :

, де - імпульс тіла.

3. Сили з якими дві матеріальні точки діють одна на одну, завжди рівні по модулю і направлені в протилежні сторони вздовж прямої, що з’єднує ці точки:

Для опису системи з Nчастинок з масами і радіус-векторами необхідно записати IIзакон Ньютона: (1) - система 3N рівняннь;

Для повного розв’язку задачі потрібно задати її механічний стан тобто набір всіх координат і швидкостей в початковий момент часу t_o: (2)

Механічний принцип причинності: по заданих силах і початковому стані системи (2) можна за допомогою рівнянь Ньютона (1) знайти стан системи в довільний момент часу t.

Клас задач які розвязує механіка Ньютона:

1.рух ТТ;2.задача двох тіл.

Аби розширити клас розвязування задач Ньютона переходять до формалізму Лагранжа:

Формалізм Лагранжа.

Основні поняття : узагальнена координата, узагальнена швидкість, ступінь вільності.

Розв’язок – залежність узагальнених координат від часу. В загальному випадку (рівняння Лагранжа 2-го роду-це рівняння першого порядку-перевага): , де Q_i–характеризують неконсервативні сили (наприклад сила тертя).

Звідки можна отримати, що . У цьому рівнянні для N матеріальних точок індекс і відповідає кожній ступені свободи та пробігає значення , де , а - кількість зв’язків, що накладені на систему.Кількість рівнянь дорівнює кількості ступенів вільності .

Функція Лагранжа: (скалярна величина), для мех.Ньютона потрібно робити проекційні маніпуляції тут такого робити не потрібно ще одна перевага!!

Одна з переваг варіаційного підходу – в ньому відсутні фізичні величини, пов”язані з конкретною системою координат; ми оперуємо кінетичною та потенційною енергією; варіаційний принцип інваріантний відносно перетворень системи координат. Кількість інтегралів руху:

Немає сил; вся інформація знаходиться у формулі Лагранжа. Функція Лагранжа L визначена з точністю до довільної повної похідної по часу від довільної функції.

Клас задач які розвязує механіка Лагранжа:

1. задача двох тіл

2. динаміка АТТ(дзига)

3. задача малих коливань

Формалізм Гамільтона.

L= - Лагранжіан. Для розв”язку задачі необхідно записати рівняння Лагранжа, виділити інтеграл руху і розв”язати відповідні рівняння Лагр. 2-го роду, які є диференц. рівн. 2-го порядку, тобто містять .

Якщо перейти до функції Н (ф-ія Гамільтона): , то тоді отримаємо, що Н=Н(р_і,q_i,t). Тобто ф-ія Гамільтона залежить від узаг. координат, узагальн. імпульсів та часу. Якщо , то Н=Е (Е – енергія системи), тоді .

Канонічні рівняння Гамільтона:

За допомогою формалізму Гамільтона ми понижуємо порядок системи диференційних рівняннь до першого порядка, але кількість рівнянь збільшується.

Переваги:

1. рівняння Гамільтона інтегруються легко

2. двічі більше інтегралів руху

3. є вихід на диференційні рівняння 2-порядку-f штук.