Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 02 Пох_дна / Пар 2-04 Теореми про середнє

, тобто і - суперечить тому, що .

2) Якщо ж і при деякому з неперервності в точці : : ; додаючи сюди (4), одержимо: , з чого слідує, що : і знову суперечність з умовою . Отже, ми маємо: і . В наслідок довільності остаточно одержимо, що .

Теорема доведена.

Наслідок 1.	(Двобічна оцінка приросту функції)
	Нехай і має скінчену похідну в кожній точці , за винятком, можливо, деякої зліченої її підмножини . Тоді виконуються нерівності:
	,	(5)
	де , .

Доведення. Утворимо функції , , , для яких, за теоремою, маємо: (5).

Наслідок доведено.

Наслідок 2.	(Про стаціонарну функції)
	Якщо і , де - деяка не більш ніж злічена підмножина проміжку , то .

Доведення слідує з попереднього наслідку, якщо покласти .

Наслідок 3.	Про функцій з рівними похідними)
	Якщо функції , та існують скінченні , , де - деяка не більш ніж злічена підмножина проміжку , то : .

Доведення. Це слідує з попереднього наслідку, якщо його застосувати до функції .

Наслідок доведено.

Наслідок 4.	(Про строгу нерівність між крайніми значеннями)
	В умовах теореми, якщо хоча б в одній точці виконується нерівність , то .

Доведення. Якщо , то на за теоремою одержимо, що . З умови слідує, що : . А далі, розглядаючи , одержимо, за теоремою, . Підсумовуючи ці результати, одержимо: . Аналогічно для .

Наслідок доведено.

Наслідок 5.	Критерії строгої та нестрогої монотонності функції)
	Нехай функція , , де не більш, ніж злічена. Для того, щоб не спадала на , необхідно і достатньо, щоб нерівність виконувалась . Для того, щоб зростала на , необхідно й достатньо, щоб , і : .

Доведення. Якщо не спадна, і . З того, що , то . Якщо - зростає, і припустимо, що : , то , що суперечить зростанню .

Для монотонного не спадання все слідує безпосередньо з теореми.

Доведемо другу частину, яка стосується зростання . : : за наслідком 4 - зростає.

Наслідок доведено.

Твердження теореми та його наслідки залишаються правильними і для випадків:

1. півінтервалу і лівої похідної ;

2. сегменту та просто похідної .

Приклад 4.	Розглянемо функцію , .
	і : - строго зростаюча на .

Теорема 6.	(Коші)
	Нехай функції неперервні на , диференційовані на . Тоді :
		(6)

Доведення. Розглянемо функцію , де . Тоді - диференційована на і : (6).

Теорему доведено.

Наслідок.	(Переформулювання теореми Коші)
	Якщо в умовах теореми Коші виконується одна з умов: 1) ; 2) , то формулу (6) можна записати у вигляді:
		(7)

Доведення. 1) Якщо , то з умови слідує, що права частина (6) відмінна від нуля і формулу (6) можна записати у вигляді (7).

Якщо ж і знов з умови слідує, що (6) можна записати у вигляді (7).

2) З умови за теоремою Дарбу - знакостала на з наслідку 5 з узагальненої теореми Лагранжа строго монотонна на і формула (7) має зміст.

Наслідок доведено.

Теорема 7.	(Неперервність похідної)
	Нехай функція неперервна в деякому околі , і диференційована , і існує . Тоді диференційована в точці і .

Доведення. і за теоремою Лагранжа на , якщо , або , якщо , можемо записати: , . За умовою теореми .

Теорему доведено.

Теорема 8.	(Характер точок розриву похідної)
	Якщо диференційована на , то її похідна не може мати на усувних розривів, а також розривів першого роду.

Доведення. Нехай - диференційована на , а її похідна розривна в точці . Якщо - точка усувного розриву і . За попередньою теоремою - суперечність. Якщо ж - точка розриву першого роду, тобто , що суперечить критерію диференційованості на (а саме в точці ).

Теорему доведено.

Тобто похідна може мати лише розриви другого роду, тобто мають властивості такі співвідношення:

.

Приклад 5.	Дослідити на неперервність похідну функції:
	; . - має в точці - розрив другого роду.