Lektsii_Rubleva / Лекции Рублева-1 / Гл 02 Пох_дна / Пар 2-08 Опукл_ функц_ї

7

Глава 2

Похідна

8. Опуклі функції, класичні нерівності

Нехай , - дві точки на декартовій площині, відрізком називається множина точок .

Множина називається опуклою, якщо .

Нехай - графік функції , надграфіком (підграфіком) цієї функції називається множина При цьому будемо казати, що точка лежить вище (нижче) графіка, якщо вона належить надграфіку (підграфіку) цієї функції.

Функція називається опуклою (угнутою), якщо її над графік (під графік) є опуклою множиною.

Легко з означення опуклої множини зрозуміти, що мова про опуклу (угнуту) функцію має сенс, якщо вона визначена на зв’язній множині, тобто в якості області визначення в цьому розділі опуклих функцій ми будемо розглядати лише сегменти, інтервали та півінтервали, або будь-які промені.

Нагадаємо, що число визначає кутовий коефіцієнтом прямої, що проходить через точки та .

Лема 1.	(Про три точки)
	Нехай на декартовій площині задано три точки , , , причому . Тоді наступні умови еквівалентні:
1)	лежить нижче прямої ;
2)	;
3)	;
4)	.
Доведення леми. Розглянемо як на малюнку точки , , , тоді і т.д., аналогічно для інших пар точок. Лему доведено.
		Рис. 1

Теорема 1.	(Односторонні похідні опуклої функції)
	Нехай функція - опукла. Тоді в кожній точці існують односторонні похідні та . Крім того і є неспадними.

Доведення теореми. Нехай - довільні значення, що задовольняють умові: . Розглянемо три точки , , . Згідно з означенням опуклої функції лежить нижче прямої . За лемою 1 ми маємо: функції , і , - неспадні. Тому існують , . Внаслідок довільності ліва та права похідні існують в кожній точці . Розглянемо нерівність: . Зробимо граничний перехід при . Далі робимо граничний перехід при , тоді одержимо - неспадна, аналогічно для .

Теорему доведено.

Наслідок 1.	(Неперервність опуклої функції)
	Кожна опукла функція неперервна.

Доведення. З того, що існує ліва похідна в кожній точці слідує, що функція неперервна зліва, аналогічно – вона неперервна справа. А це і означає неперервність функції в кожній точці.

Наслідок доведено.

Наслідок 2.	Похідна опуклої функції)
	Якщо опукла, то існує не більше як злічена множина : диференційована, а функція неперервна.

Доведення. Розглянемо множини точок , в якій розривні ліва та права похідні. З властивостей монотонних функцій ці множини не більш ніж злічені. Розглянемо множину , вона також не більш ніж злічена. В усіх інших точках права та ліва похідні неперервні. Покажемо таким чином, що в цих точках права та ліва похідні співпадають.

Від супротивного. Припустимо, що вони в точці неперервні та мають різні значення. Припустимо, що . Без обмежень загальності можемо вважати, що , а інакше можна розглянути функцію , для якої це має місце, а зайвий доданок не впливає на диференційованість функції . Тобто, нехай . Але внаслідок стійкості нерівності для неперервної функції знак кожної похідної зберігається в деякому околі точки . Виберемо найменший з цих околів , в якому функції зберігають знак. Виберемо точки , для яких та . Але тоді з узагальненої теореми Лагранжа (для правої похідної), та (для лівої похідної). Одержана суперечність доводить потрібне. Тепер ми бачимо, що вони співпадають в точках неперервності, а тому й сама похідна співпадає з цими значеннями, а тому також є неперервною в точці , а тому й на усій множині .

Наслідок доведено.

Теорема 2.	(Критерій опуклості функції)
	Для того, щоб функція була опуклою, необхідно і достатньо, щоб існувала похідна і щоб ця похідна була неспадною на функцією.

Доведення теореми. Необхідність безпосередньо слідує з теореми 2.

Для достатності доведемо два допоміжні твердження.

Лема 2.	(Теорема Ферма для лівої похідної)
	Якщо функція набуває найбільшого (найменшого) значення в точці і , то .

Доведення леми. З того, що - точка найбільшого значення .

Аналогічно для найменшого значення.

Лему доведено.

Лема 3.	(Теорема Лагранжа для лівої похідної)
	Якщо функція неперервна, має ліву похідну . Тоді : .

Доведення леми. Покладемо і розглянемо функцію , . набуває найбільшого та найменшого значення в деяких точках та . Оскільки (їх можна вибрати на цьому півінтервалі). Тоді за попередньою лемою , .

Лему доведено.

Нехай , лежать вище графіка функції , а . Покажемо, що (що буде означати опуклість функції ). За теоремою Лагранжа для лівої похідної: : , аналогічно : . Оскільки і неспадна, то за лемою про три точки .

Лему доведено.

Наслідок 1.	(Критерій опуклості функції через праву похідну)
	Для того, щоб функція була опуклою, необхідно і достатньо, щоб існувала і щоб ця функція була неспадною.

Наслідок 2.	(Критерій опуклості диференційованої функції)
	Якщо функція диференційована на , то вона опукла тоді і тільки тоді, коли є неспадною функцією.

Наслідок 3.	(Критерій опуклості двічі диференційованої функції)
	Якщо функція має другу похідну , то для опуклой необхідно і достатньо, щоб .

Теорема 3.	(Ієнсена)
	Нехай функція опукла. Тоді виконується нерівність Ієнсена:
		(1)

Доведення теореми. Для маємо: покладемо . Розглянемо точки , . Тоді точка , де , належить відрізку , тому з означення опуклої функції , тобто - доведено для .

Нехай (1) має місце для , доведемо з цього його істинність для .

Позначимо . Очевидно, що . Використаємо нерівність (1) для ( вона вже доведена).

=.

Теорему доведено.

Наслідок.	(Нерівність між середніми)
	Якщо , , то .

Доведення. Розглянемо на функцію . , опукла поклавши в нерівності (1) . .

Наслідок доведено.

Теорема 4.	(Еквівалентний критерій опуклості функції))
	Функція опукла тоді і тільки тоді, коли виконується нерівність:
		(2)

Необхідність слідує з нерівності Ієнсена, якщо покласти , , .

Достатність. Нехай . Тоді . Покладемо , тоді , ,

- опукла.

Теорему доведено.

З останньої теореми можна дати еквівалентне означення опуклій функції.

Функція називається опуклою (строго опуклою), якщо , виконується нерівність

.

Функція називається угнутою (строго угнутою), якщо функція опукла (строго опукла).

Теорема 5.	(Лінійність опуклості)
	Нехай функції , опуклі (угнуті), а - довільні додатні числа. Тоді функція опукла (угнута).
	Якщо при цьому хоч одна з функцій строго опукла (угнута), то і строго опукла (угнута).

Доведення очевидно проводиться методом математичної індукції.

Теорема 6.	(Нерівність Юнга)
	Нехай , , . Якщо , то
		(3)

Доведення. , опукла. Покладемо в нерівності Ієнсена:

, .

Теорему доведено.

Теорема 7.	(Нерівність Гельдера)
	Нехай , . Тоді , виконується нерівність:
		(4)