Econometrics

Зробити прогноз на перший квартал 2001 року. Підрахувати похибку прогнозування, якщо справжнє значення прибутків становило 8935,5 млн. грн.

Розв’язок.

Будемо будувати модель виду

yt = β0 + β1qt1 + β2qt 2 + β3qt3 + β4t + εt ,

де q1 – фіктивна змінна, що приймає значення 1, якщо розглядається перший квартал року, 0 – в інших випадках,

q2 – фіктивна змінна, що приймає значення 1, якщо розглядається другий квартал року, 0 – в інших випадках,

q3 – фіктивна змінна, що приймає значення 1, якщо розглядається третій

квартал року, 0 – в інших випадках,

t – трендовий компонент, що показує зростання прибутків протягом часу спостережень.

Побудуємо матрицю незалежних змінних:

Знаходимо оцінку коефіцієнтів регресії:

31

В першому кварталі 2001 року незалежні змінні прийматимуть значення: q1 =1, q2 = q3 = 0 , t =13. Прогноз становить:

ˆyt = 5406,3 −1963 1 − 2623,5 0 − 2143, 7 0 + 508,8 13 = 10058,1 млн. грн.

Приклад 5.

Дослідити на стійкість модель залежності грошової маси (M2, млн. грн.) від відсоткової ставки НБУ (R, %) за критерієм дисперсійного аналізу, розбивши всі спостереження на дві групи розмірами n1 =16 та n2 = 12 з рівнем

надійності 95%.

Розв'язок.

Оцінюємо послідовно 3 регресії:

32

чином, необхідно розглядати окрему регресію на кожному з часових інтервалів.

Приклад 6.

Відомо 16 спостережень чотирьох величин:

1.Визначити наявність мультиколінеарності в регресії з рівнем надійності

95%.

2.Визначити пари лінійно залежних факторів.

3.На основі частковогоF –критерію провести специфікацію найкращої лінійної моделі.

Її детермінант дорівнює det R = 0, 000337 ,

χpr2 = n −1 − 16 (2 (k −1)+ 5)ln DetR = 30, 658,

33

Таким чином видно, що до регресії 7 варто включити фактори х1 та х2, до регресії 6 – фактор х1, а до регресії 3 – фактор х1. Проведений аналіз доводить, що не слід розглядати модель без змінної х1, проте модель 5 є самодостатньою. Таким чином, найкращою буде модель y = 5,56 + 0, 99x1 .

34

Задачі

Група А

Задача 2.1. Чи можуть наступні рівняння бути перетвореними в рівняння, лінійні за параметрами?

3.yt = αe−βxt + εt ;

4.yt = α ln (x3 x1 )+ β lnγ x1x2 +δ x3ex3 + εt ;

7.yt = β α− xt + εt ;

8.yt = α γ x1 x22 x3 + β lnγ x1x2 +δex3 + εt .

Задача 2.2. Довести, що МНК–оцінка коефіцієнтів множинної лінійної регресії y = X β + ε є незміщеною.

Довести, що

(y − Xαˆ)T (y − Xαˆ)− (y − X βˆ)T (y − X βˆ)= (αˆ − βˆ)T X T X (αˆ − βˆ).

Визначити дисперсії оцінок параметрів моделі та їх стандартні помилки.

RSS = 110, 32 , ESS = 21, 43 .

35

1.Перевірте значимість кожного коефіцієнта, α = 0,1

2.Знайдіть коефіцієнт детермінації.

3.Протестуйте значимість моделі в цілому, α = 0,1.

Задача 2.7. Бюджетне обстеження п’яти випадково вибраних сімей дало результати:

1.Оцініть регресію S на Y та W з константою.

2.Знайдіть коефіцієнт детермінації моделі.

3.Побудувати 90%-надійні інтервали для коефіцієнтів регресії.

4.Перевірити гіпотезуH0 :β2 = β3 = 0 ,α = 0, 05 .

H0 :β3 = 0,α = 0, 01.

7.Перевірити гіпотезу про пряму залежність між споживанням та доходом

H0 : β2 = 1,α = 0,1.

8.Перевірити гіпотезу, що ефект доходу протилежний ефекту майна у фіксованій пропорції: H0 : β2 = −4β3 ,α = 0, 01.

Задача 2.8. Спостереження було умовно розбито на дві підгрупи, для яких було обраховано:

1.Обчислити оцінки регресії yi = α + βxi + εi для всіх спостережень і для кожної з груп окремо.

2.Обчислити відповідні коефіцієнти детермінації.

3.Перевірити моделі на адекватність,α = 0, 05 .

4.Перевірити гіпотезу про стійкість моделі,α = 0, 01.

36

Задача 2.9. По групі підприємств, що випускають однорідну продукцію, відомо, як залежить собівартість одиниці продукції y від факторів:

Ранжувати за допомогою коефіцієнтів еластичності фактори за ступенем їх впливу на результат.

Задача 2.10. На основі статистичної інформації була побудована економетрична модель залежності попиту на товар ( y , одиниць) та

доходами населення ( x1 , грн.), ціною на цей товар ( x2 , грн. за одиницю):

1.Визначити з рівнем надійності 95% адекватність моделі.

2.Дати економічне тлумачення оцінок параметрів моделі

Задача 2.11. По 30 спостереженнях обраховано матрицю

Визначити стандартні помилки оцінок параметрів моделі

y = 17, 4 − 2,1x1 +1,3x2

та перевірити їх статистичну значущість з рівнем надійності 0,9.

Задача 2.12. Розрахована матриця коефіцієнтів парної кореляції для трьох пояснюючих змінних моделі з нормалізованими змінними

1.Визначити наявність мультиколінеарності, α = 0, 05 .

2.Ранжувати змінні за ступенем їх впливу на залежну змінну.

37

Задача 2.13. Для 30 спостережень незалежних змінних множинної лінійної регресії розрахована кореляційна матриця незалежних змінних:

n = 27 спостережень виглядає наступним чином:

1.Перевірити значущість коефіцієнтів регресії.

2.Дати економічне інтерпретацію результатів.

3.Визначити, як зміниться відсоткова ставка, якщо доход зросте на 2%.

4.Визначити, як зміниться відсоткова ставка, якщо інвестиції збільшаться на 1,7%.

спостереженнях отримана наступна матриця сум добутків відповідних змінних:

38

Перевірити гіпотезуH0 :4β1 = β2 ,α = 0,1.

Задача 2.18. На фірмі працює 23 жінки та 17 чоловіків. Середня заробітна платня жінок 342 грн., чоловіків – 394 грн.

1. Оцінити регресію yt = β0 + β1dt + εt , де yt – заробітна плата,0, жінка

dt = 1, чоловік.

2.Перевірити гіпотезу про відсутність дискримінаціїH0 : β1 = 0, α = 0,1.

3.Обчислити коефіцієнт детермінації моделі.

4.Перевірити модель на адекватність, α = 0, 01.

5.Визначити стандартні похибки коефіцієнтів моделі.

1. оцінити регресії

2.Проінтерпретувати отримані результати.

3.Вибрати найкращу регресію.

Задача 2.20. Наведено статистику по 15 підприємствах, що випускають однорідну продукцію.

39

2.Обрахувати стандартні похибки для коефіцієнтів моделі.

3.Визначити коефіцієнт детермінації.

4.Перевірити модель на адекватність, α = 0,1.

5.Перевірити гіпотезуH0 : β2 =1, 4,α = 0,1.

6.Перевірити гіпотезуH0 : β1 + β2 =1,α = 0,1.

7.Перевірити залишки на наявність автокореляції, α = 0, 01.

8.Визначити обсяг виробництва підприємства, у якого середня продуктивність праці x1 = 45 , ефективність капітальних активів x2 = 59 .

9.Підрахувати коефіцієнти еластичності. Визначити найбільш суттєвий фактор.

1.Обчислити коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації, вибірковий коефіцієнт кореляції між ln K таln L .

40