Econometrics

n − 2

та порівнюється з теоретичною статистикою Стьюдента з n-2 степенями свободи:

tteor = t (n − 2,1 −α).

Якщо tpr < tteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто залежність між змінними x та y є статистично незначимою.

Надійні інтервали для коефіцієнтів регресії.

Надійний інтервал для коефіцієнта α : [αˆ − s.e.(αˆ) tteor ;αˆ + s.e.(αˆ) tteor ] ; надійний інтервал для коефіцієнта β : [βˆ − s.e.(βˆ) tteor ; βˆ + s.e.(βˆ) tteor ],

де tteor = t (n − 2,1 −α).

Прогноз за регресією.

i=1

Надійний інтервал для прогнозу:

[ˆyn+1 − s.e.(ˆyn+1 ) tteor ; ˆyn+1 + s.e.(ˆyn+1) tteor ],

де tteor = t (n − 2,1 −α).

Середній коефіцієнт еластичності.

Середній коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків в середньому зміниться значення y при зміні незалежної змінної x на 1% від

свого середнього значення:

E = f ′(x) xy = βˆ xy .

Приклад розв'язання задачі

Приклад 1.

На основі статистичних даних доходу підприємства (у млн. грн.) y та кількості працюючих(утис. чол.) x

11

1.Знайти оцінкипараметрівлінійноїрегресії y = α + βx + ε .

2.Перевіритимодельнаадекватністьз рівнемнадійності95%.

3.Визначитизначимістькоефіцієнтунахилурегресіїз рівнемнадійності95%.

4.Оцінитизначущістькоефіцієнтакореляціїз рівнемнадійності95%.

5.Визначитинадійніінтервалидлякоефіцієнтіврегресіїз рівнемнадійності95%.

6.Обчислитисереднійкоефіцієнтеластичності.

12

що свідчить про високу степінь залежності між змінними.

2.Перевіримо модель на адекватність. Практичне значення статистики Фішера дорівнює

R2

13

i=1

Для перевірки гіпотези про те, що коефіцієнт кореляції рівний 0, використовують статистики

Оскільки практичне значення більше за теоретичне, то коефіцієнт кореляції не можна прийняти рівним 0, тобто він є значущим.

5.Визначимо надійні інтервали для коефіцієнтів з рівнем надійності 0,95 за формулою [βˆ − s.e.(βˆ) tteor ; βˆ + s.e.(βˆ) tteor ],

де tteor = tn−2; 0.95 = t13;0,95 = 2,16 :

4,316715<α <7,180448; 1,663201< β <2,094201.

6.Середній коефіцієнт еластичності ε = βˆ xy = 1,8787 93262,56 = 0, 67 . При

збільшенні кількості працюючих на 1% доход підприємства зросте на

0,67%.

Задачі

Група А

Задача 1.1. Знайти пеpетвоpення даних, яке зводить дану модель в лінійну.

14

Задача 1.2. Знайти невідомий коефіцієнт моделі yt = α + εt ,t =1, n . Чому дорівнює коефіцієнт детермінації моделі? Знайти дисперсію моделі.

αˆ −α

Покажіть, що статистика s.e.(αˆ) має tn−1 -розподіл.

yt = α + βxt + εt . Знайдіть коефіцієнт детермінації. Підрахуйте найкращий незміщений прогноз на наступний період, якщо xn+1 =4.

Обчислити найкращий лінійний незміщений прогноз величиниˆy21 . Оцінити стандартну похибку прогнозу.

відсутності вільного члена. Проаналізуйте отриману регресію. Підрахуйте оцінку прогнозу приxn+1 = 23.

наявності вільного члена. Проаналізуйте отриману регресію. Оцініть прогноз при xn+1 = 52 . Перевірте адекватність моделі, α = 0, 01.

Задача 1.8. Оцінити модель простої лінійної регресії y = α + βx + ε за даними

15

Задача 1.9. Монополіст максимізує пpибуток за наявності наступної функції

Визначити максимальний доход монополіста. Знайти ціну, яку запропонує монополіст. Побудувати 90% надійний інтервал для випуску, що максимізує прибуток.

Задача 1.10. Для перевірки гіпотези по те, що обсяг продажів yt залежить від витрат на рекламу a t , побудовано регресію: yt = 0, 36 + 0, 75at .

1.Перевірити гіпотезу, α = 0, 05 .

2.Визначити, як зміниться обсяг продажів при зростанні витрат на рекламу на 1,7%.

Задача 1.11. Дослідження продажів по 23 торгових точках м. Києва показало таку залежність між кількістю проданих одиниць товару y та

ціною p :

ln y = 21, 4 − 0, 69 ln x .

Перевірити гіпотезу про те, що еластичність попиту по ціні для досліджуваного товару складає –0,8, α = 0, 01

Задача 1.12. Дослідження продажів по 16 торгових точках м. Києва показало таку залежність між кількістю проданих одиниць товару y та

ціною p :

y = 1, 4 x−0,81 .

Перевірити гіпотезу про те, що еластичність попиту по ціні для досліджуваного товару складає –0,75, α = 0, 05

∑ln2 x =11, 4 , ∑ln y = 4, 7 , ∑ln2 y = 7, 4 .

1.Визначити коефіцієнти регресії.

2.Обчислити коефіцієнт еластичності.

3.Визначити коефіцієнт детермінації.

4.Перевірити модель на адекватність, α = 0, 01.

Задача 1.14. Досліджується залежність витрат індивіда від його заробітної плати x . По 30 спостереженнях були отримані такі варіанти регресій:

16

•ˆy = 15 + 0, 5 x ;

(3,45)

•ln ˆy = 1, 4 + 0, 2 ln x , R2 = 0, 72 ;

(7,11)

•ln y = 38 + 0, 04 ln x + 0, 09 x , R2 = 0, 51;

(1,89) (1,05)

•y = −0,3 + 0,5 x + 0, 04 x2 , R2 = 0, 52 .

(3,12) (1,78)

1.Визначити коефіцієнт детермінації для першого рівняння.

2.Записати друге та третє рівняння у структурному вигляді.

3.Визначити коефіцієнти еластичності для кожного з рівнянь.

4.Вибрати найкращий варіант рівняння регресії.

4. Визначити, на скільки зросте випуск підприємства при збільшенні розміру устаткування на 3%.

5. Визначити, на скільки зросте випуск підприємства при збільшенні розміру устаткування на 1,2 млн. грн.

17

1.Перевірити значущість коефіцієнтаβ , α = 0, 01.

2.Побувати надійні інтервали для коефіцієнтів моделі з рівнем надійності

90%.

3.Перевірити модель на адекватність з рівнем надійності 99%.

4.Визначити, на скільки зростає в середньому доход підприємства за 1 період спостережень.

5.Зробити прогноз доходу підприємства на наступний період.

18

1.Оцінити функцію Солоу yt = α (K L)β + εt .

2.Побувати надійні інтервали для коефіцієнтів моделі з рівнем надійності

90%.

3.Перевірити модель на адекватність з рівнем надійності 95%.

4.Визначити, на скільки зросте доход підприємства при збільшенні відношення капіталу до праці на 2%.

5.Визначити, на скільки зросте доход підприємства при збільшенні відношення K L на 0,1.

Для даних задачі 1.18 визначити залежність доходу підприємства від часу, побудувавши трендову регресію: yt = α + β t + εt .

1.Перевірити значущість коефіцієнта β , α = 0, 05 .

2.Побувати надійні інтервали для коефіцієнтів моделі з рівнем надійності

95%.

3.Перевірити модель на адекватність з рівнем надійності 95%.

4.Визначити, на скільки зростає в середньому доход підприємства за 1 період спостережень.

5.Зробити прогноз доходу підприємства на наступний період.

19

Тема 2. Множинна регресія

Основні визначення

Множинна регресія.

Множинна регресія – рівняння зв'язку з декількома незалежними змінними: y = f (x1 , x2 ,…, xk −1 )+ ε ,

де x1 , x2 ,…, xk −1 - значення незалежних змінних, y - значення залежної змінної.

Класичні властивості збурень.

1.M εi = 0

2.Гомоскедастичність збурень: Dεi =Mεi2 = σ2 = const , i = 1, n .

3.Незалежність збурень: cov (εi ,ε j )= 0,i ≠ j .

4.Незалежність збурень та регресорів: cov (εi , xj )= 0, i, j .

5.Збурення εi нормально розподілені для всіх i.

Оцінка регресії.

Побудова регресії зводиться до оцінки її параметрів за методом найменших квадратів (МНК):

розв'язавши систему нормальних рівнянь:

…………………………………………………………………

β0 ∑xk −1 + β1 ∑x1xk −1 + β2 ∑x2 xk −1 +…+ βk −1 ∑xk2−1 = ∑xk −1 y.

Якщо записати множинну лінійну регресію у матричній формі: y = X β + ε ,

y1y2

де y = . –вектор значень залежної змінної,

.yn

20