Econometrics

то вектор коефіцієнтів регресії можна знайти за формулою:

βˆ = (X T X )−1 X T y .

Вибіркова регресійна функція має вигляд: ˆy = βˆ0 + βˆ1x1 +…+ βˆk −1 xk −1 . Залишки моделі знаходяться за формулою: ei = εˆi = yi − ˆyi , i = 1, n .

Дисперсійний аналіз.

Формула розкладу дисперсії має вигляд

TSS = ESS + RSS ,

n

де TSS = ∑( yi − y)2 – загальна сума квадратів,

i=1

n

ESS = ∑(ˆyi − y)2 – пояснена сума квадратів,

i=1

n

RSS = ∑ei2 –сума квадратів залишків.

i=1

Статистичні властивості оцінок МНК.

Mβˆ = β ,

Dβˆ = σ2 (XT X)-1 .

21

На практиці величину σ2 замінюють на її оцінкуσˆ2 = nRSS− k .

Теорема Гауса-Маркова.

1.Нехай припущення про нормальність збурень не накладається. Тоді МНК–оцінки мають мінімальну коваріаційну матрицю в класі незміщених лінійних оцінок.

2.Припустимо, що збурення мають нормальний розподіл. МНК–оцінки мають мінімальну коваріаційну матрицю в класі усіх незміщених оцінок.

Коефіцієнт детермінації.

Коефіцієнт детермінації R2 визначається як відношення поясненої і загальної сум квадратів:

R2 = TSSESS = 1 − TSSRSS .

Коефіцієнт детермінації є частиною дисперсії залежної змінної, яка пояснюється за рахунок моделі, або, іншими словами, завдяки мінливості незалежної змінної. Коефіцієнт детермінації є мірою тісноти саме лінійного зв’язку між x та y. Коефіцієнт детермінації завжди знаходиться в межах від

нуля до одиниці. Чим ближче R2 до 1, тим точніше x пояснює y.

Скоригований коефіцієнт детермінації.

Скоригований коефіцієнт детермінації містить поправку на число степенів свободи і розраховується за формулою:

ESS

Radj2 = 1 − nTSS− k .

n −1

Скоригований коефіцієнт детермінації завжди не перевищує коефіцієнт детермінації.

Гіпотеза про адекватність моделі ( F -тест ).

H0 : βi = 0,i = 0, k −1.

Необхідно обрахувати практичне значення

R2 Fpr = 1k−−R12

n − k

та порівняти його з теоретичною статистикою Фішера з k-1 та n-k степенями свободи і рівнем надійності 1 −α :

Fteor = F (k −1, n − k,1 −α).

ЯкщоFpr < Fteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто регресія є статистично

незначимою.

Гіпотеза про значення коефіцієнту регресії.

H0 : βi = m .

Обраховується практичне значення:

22

та порівнюється з теоретичною статистикою Стьюдента з n-k степенями свободи:

tteor = t (n − k,1 −α).

Якщо tpr < tteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто значення коефіцієнту βi

можна прийняти рівним m .

Гіпотеза про значимість коефіцієнта регресії.

H0 : βi = 0 .

Обраховується практичне значення:

tpr = s.e.βˆ(iβˆi )

та порівнюється з теоретичною статистикою Стьюдента з n-k степенями свободи:

tteor = t (n − k,1 −α).

Якщо tpr < tteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто коефіцієнт βi є значимим.

Якщо Fpr < Fteor , то гіпотеза H0 приймається.

23

Прогноз за регресією.

Нехай відомі наступні значення незалежних змінних xi,n+1 , i = 1, k −1. Тоді прогноз обраховується за формулою:

ˆyn+1 = βˆ0 + βˆ1 x1,n+1 + βˆ2 x1,n+1 +…+ βˆk −1xk −1,n+1 .

Нормалізовані змінні – змінні, що використовуються для порівняння факторів за ступнем їх впливу.

змінної в i-му спостереженні.

Середній коефіцієнт еластичності.

Середній коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків в середньому зміниться значення y при зміні фактору xj на 1% від свого

середнього значення:

Eyx j = f ′(xj )xyj = βˆj xyj .

Частковий коефіцієнт еластичності.

Частковий коефіцієнт еластичності розраховується за формулою:

Eyx j = βˆi ˆy (x1 , x2x,i…xk −1 ).

Гіпотеза про стійкість моделі.

Розіб’ємо всі спостереження (n) на дві групи розмірами n1 таn2 . Потрібно

перевірити гіпотезу

H0 : βi(1) = βi(2) = βi , i = 0, k −1.

Якщо розмір кожної з груп достатній для побудови регресії, то використовується ліва група формул, якщо ж розмір другої групи n 2 не

дозволяє побудувати регресію, то потрібно використовувати праву групу формул:

де RSS, RSS1, RSS 2 – суми квадратів залишків в регресіях по всіх спостереженнях, по першій групі, по другій групі відповідно.

24

Якщо Fpr < Fteor , то гіпотез про стійкість моделі приймається, в

протилежному випадку – відхиляється.

Мультиколінеарність – лінійна залежність двох або більше факторів між собою.

Гіпотеза про наявність мультиколінеарності.

Нехай обрахована кореляційна матриця для факторів регресійної моделі

мультиколінеарність.

Гіпотеза про доцільність розширення регресії.

Нехай побудовано регресію yi = β0 xi0 + β1 xi1 +…+ βk −1 xi,k −1 + εi ,i =1, n , і розглядається питання про доцільність включення ще однієї додаткової змінної xk . Для перевірки подібної гіпотези підраховується практичне значення F – статистики

R22 − R12

Fpr = 1 −1R22 ,

n − k

де R12 – коефіцієнт детермінації в початковій моделі, R22 – коефіцієнт детермінації в моделі з додатковою змінною. Обчислене значення необхідно порівняти з теоретичнимFteor = F (1; n − k;1 −α). ЯкщоFpr < Fteor , то змінну xk включати до регресії недоцільно.

Гіпотеза про значимість часткового коефіцієнта кореляції.

Обраховується практичне значення:

25

n − k

та порівнюється з теоретичною статистикою Стьюдента з n − k степенями свободи:

tteor = t (n − k,1 −α).

Якщо tpr < tteor , то гіпотеза H0 приймається, тобто залежність між змінними x та y є статистично незначимою.

Фіктивні змінні – змінні, що приймають лише значення 0 та 1, використовуються для моделювання якісних ознак, наприклад, статі людини, визначення сезонних коливань тощо.

Приклади розв'язання задач

Приклад 1.

Бюджетне обстеження п’яти випадково вибраних сімей дало результати:

Оцініть регресію S на Y та W з константою. Спрогнозуйте накопичення сім’ї, якщо її доход 40 тис. грн., а майно 25 тис. грн. Нехай доход зріс на 10 тис. грн. Як зростуть накопичення сім’ї? Знайдіть коефіцієнт детермінації моделі.

Розв'язок.

Оцінимо регресію Si = β0 + β1Yi + β2Wi + εi ,i = 1, 5. Для знаходження

коефіцієнтів регресії можна скористатися двома способами.

Спосіб 1. Оцінка коефіцієнтів регресії знаходиться за формулою:

βˆ = (X T X )−1 X T S ,

26

Тоді

Як видно, будь-який зі способів призводить до однієї і тієї ж вибіркової функції:

27

Sˆ = 0, 2787 + 0,1229Y − 0, 0294W .

Коефіцієнт детермінації можна знайти за формулою:

З вибіркової регресійної функції видно, що при зростанні доходу на 1, накопичення зростають на 0,1229, тому при зростанні доходу на 10 тис. грн, накопичення збільшиться на 1229 грн.

Приклад 2.

На основі 30 спостережень була оцінена така регресія:

1.Визначити, які з коефіцієнтів регресії є значимими з рівнем надійності

0,95.

2.Перевірити гіпотезу β1 = 1 з рівнем надійності 0,95.

3.Підрахувати коефіцієнт детермінації та скоригований коефіцієнт детермінації.

4.Перевірити модель на адекватність.

Розв'язок.

1.Для перевірки значимості коефіцієнтів слід порівняти практичні значення t-статистик, що розташовані під коефіцієнтами моделі, з теоретичним

28

Для знаходження скоригованого коефіцієнта детермінації слід скористатися формулою:

практичне значення більше за теоретичне, то модель виявилася адекватною.

Приклад 3.

Відома інформація по деяких підприємствах України по випуску продукції Y (млн. грн.), основному капіталу K (млн. грн.), чисельності працюючих L (тис.люд.-год.).

29

Необхідно оцінити виробничу функцію Коба-Дугласа Y = β0 K β1 Lβ2 + ε та

перевірити гіпотезу β1 + β2 = 1,

β0 = 2.

Розв'язок.

Для оцінювання виробничу функцію слід перетворити до множинної лінійної регресії шляхом логарифмування:

lnYi = ln β0 + β1Ki + β2Li + εi ,i = 1, 35.

Оцінюємо отриману регресію звичайним методом найменших квадратів:

підприємства мають постійну віддачу від масштабу.

Приклад 4.

Побудувати сезонну регресію для прибутків підприємств України, використовуючи дані за 1998-2000 роки.

30