черняк

Спосіб 1. Оцінку коефіцієнтів регресії знаходимо за формулою

41

ˆ 2 2 -201225 0,0294 .6842700

Як видно, будь-який зі способів приводить до однієї і тієї самої вибіркової функції

Якщо Y 40 , W 25 , то Sˆ 0,2787 0,1229 40 0,0294 25 4,4587 .

З вибіркової регресійної функції видно, що при зростанні доходу на 1, нагромадження зростають на 0,1229, тому при зростанні доходу на 10 тис. грн, нагромадження збільшаться на 1229 грн.

2.6.Перевірка статистичних гіпотез у моделі множинної лінійної регресії

2.6.1.Перевірка адекватності регресії

Адекватність регресії означає, що незалежні змінні в сукупності впливають на залежну змінну. Як нульову гіпотезу для перевірки приймають протилежне твердження, а саме

H0 : 1 2 k 1 0 .

Можна показати, що коли гіпотеза H0 правильна, то

R2

n k

Прийняття нульової гіпотези означає, що модель слід відхилити і розглянути іншу. При цьому слід використовувати квантиль розподілу Фішера.

n k

а потім порівнюють її з Fteor – статистикою розподілу Фішера з k 1 та n k степенями свободи і рівнем значущості . Якщо Fpr Fteor , то модель уважають адекватною. У протилежному випадку ( Fpr Fteor ) – неадекватною.

2.6.2. Перевірка гіпотез про коефіцієнти регресії

Стандартною процедурою є перевірка гіпотези про те, що коефіцієнт j дорівнює нулю.

Якщо tpr tteor , то гіпотеза H0 приймають, тобто коефіцієнт t уважають незначущим.

42

На практиці частіше потрібен інший, більш загальний варіант цієї гіпотези, у якій значення коефіцієнта перевіряють на рівність. Відповідна гіпотеза має вигляд

H0 : j m .

Обраховують практичне значення

і порівнюють із теоретичною статистикою Стьюдента з n k степенями свободи і рівнем надійності 1 :

tteor t n k,1 .

Якщо tpr tteor , то гіпотеза H0 приймають, тобто значення коефіцієнта j уважають

рівним m .

Аналогічно до випадку простої лінійної регресії будують надійні інтервали для коефіцієнтів регресії. Зокрема, надійний інтервал для коефіцієнта j

[ˆ j s.e.(ˆ j ) tteor ; ˆ j s.e.(ˆ j ) tteor ],

де tteor t n k,1 , 1 – рівень надійності.

Приклад 2.2. Перевірка статистичних гіпотез

На основі 30 спостережень було оцінено таку регресію:

(у дужках наведено середньоквадратичні відхилення коефіцієнтів моделі).

1.Визначити, які з коефіцієнтів регресії значущі з рівнем надійності 0,95.

2.Перевірити гіпотезу 1 1 з рівнем надійності 0,95.

3.Підрахувати коефіцієнт детермінації та скоригований коефіцієнт детермінації.

4.Перевірити модель на адекватність.

Розв'язання

1. Щоб перевірити значущість коефіцієнтів, слід порівняти практичні значення t- статистик, розташованих під коефіцієнтами моделі, з теоретичним значенням

43

значення Fteor F(2;27;0,1) 2,51. Таким чином, оскільки практичне значення більше за теоретичне, то модель виявилася адекватною.

2.6.3. Перевірка гіпотези про лінійні обмеження на коефіцієнти регресії

Цей тип гіпотез надзвичайно важливий на практиці. З одного боку, у гіпотезі про лінійні обмеження на коефіцієнти регресії узагальнено поняття гіпотез про адекватність моделі та значення коефіцієнтів. З іншого боку, з'являється можливість перевірити правильність специфікації моделі, відповідність моделі різноманітним економічним

еквівалентна гіпотезі про значення коефіцієнта.

Проте наведена гіпотеза дає ширші можливості для дослідника. Зокрема, за її допомогою можна перевірити гіпотезу про постійну віддачу від масштабу фірми з виробничою функцією Кобба – Дугласа. Наприклад, для виробничої функції вигляду

yt 0Kt 1Lt 2 t ,

де Kt – основні фонди підприємства, Lt – обсяг фонду оплати праці, yt – випуск

продукції, можна перевірити гіпотезу

H0 : 1 2 1.

Така гіпотеза перевіряє наявність постійної віддачі від масштабу. Відхиливши таку гіпотезу, власник підприємства має розширювати виробництво при 1 2 1 і

скорочувати – при 1 2 1. У наших позначеннях гіпотеза записана за допомогою

J1, 11 1, 12 1, r1 1.

Векономічному аналізі зустрічаються і складніші обмеження на коефіцієнти моделі.

У загальному випадку для перевірки гіпотези застосовують критерій Вальда. Для цього обраховують значення статистики

n k

де J – кількість обмежень; RSS – сума квадратів залишків моделі. Обчислене значення порівнюють із теоретичною статистикою Фішера

F(J;n k; ).

Якщо Fpr Fteor , то гіпотезу H0 приймають.

44

Існує й інший спосіб перевірити цю гіпотезу, який приводить до тих самих результатів. Розглянемо його на прикладі. Припустимо, що для рівняння множинної регресії

y 0 1x1 2x2 3x3

треба перевірити гіпотезу про обмеження

квадратів залишків (RRSS ) y моделі з обмеженнями. Запишемо обмеження в такому

вигляді:

1 3 3 та 2 2 4 3 .

Підставимо ці співвідношення до початкового рівняння:

y 0 3 3x1 (2 4 3 )x2 3x3 .

Перенесемо всі відомі величини до правої частини рівняння і зберемо подібні при параметрах регресії в його лівій частині:

y 2x2 0 (3x1 4x2 x3 ) 3

Щоб знайти суму квадратів залишків (RRSS ) y моделі з обмеженнями, слід оцінити

регресію змінної (y 2x2 ) стосовно (3x1 4x2 x3 ) і константи. Якщо гіпотеза H0 правильна, то статистика

Одним із недоліків критерію Вальда є те, що результати тестування залежать від способу записування гіпотези, тобто критерій не є інваріантним щодо початкових даних. Водночас для його застосування немає жорстких обмежень, що робить його достатньо популярним на практиці.

Приклад 2.3. Перевірка гіпотези про систему лінійних обмежень

45

Розв'язання

Для оцінювання виробничу функцію слід перетворити до множинної лінійної регресії шляхом логарифмування:

lnYt ln 0 1Kt Lt t ,t 1,35 .

Оцінюємо отриману регресію звичайним методом найменших квадратів:

ОскількиFpr Fteor , то гіпотеза про лінійні обмеження слід прийняти; це означає, що підприємства мають постійну віддачу від масштабу.

2.6.4. Перевірка гіпотез про стійкість моделі

Припустимо, що треба побудувати модель деякої економічної системи за даними, що є часовими рядами. Нехай, наприклад, треба змоделювати ВВП країни, у якій відбувається структурна економічна реформа. Постає питання, чи можна розробити єдину модель для аналізу ВВП, яку можна було б використовувати протягом усього періоду досліджень. Іноді реформи приводять до таких великих зрушень, що доцільно розглядати окремо

46

моделі до та після початку реформ. Відповідь про те, скільки моделей слід розглядати – одну чи кілька, дає гіпотеза про стійкість моделі.

Загалом модель називатиметься стійкою, якщо коефіцієнти моделей, побудовані за різними вибірками, були статистично рівними. Іншими словами, гіпотезу про стійкість моделей треба записати у вигляді

H0 : j I j II j III .

Для перевірки такої гіпотези використовують критерій Чоу. Залежно від кількості спостережень розрізняють кілька модифікацій цього критерію.

Припустимо, що є n спостережень, які розбито на дві групи з n1 та n2 спостережень відповідно (n n1 n2 ). Нехай розміри груп достатні для коректного обчислення моделей.

Тоді оцінюємо модель тричі: за всіма спостереженнями і за кожною групою окремо. Нехай:

RSS – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за всіма n спостереженнями,

RSS1 – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за першими n1

спостереженнями

RSS2 – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за останніми n2

спостереженнями.

Якщо гіпотеза про стійкість моделі правильна, то