Zolotaryuk_lectures
.pdf2.4. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KДФ |
|
31 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
та елементамиТакимчиом,дискретногоiсну¹вз¹мноспектру-однозначна вiдповiд |
iстьзанумерумiжлями a(k) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
данихíÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìî â ïî- |
|||||||||
ядку зростання |
|
|
|
(ñïàäàííÿ |
|
|
|
|
|
|
|
L. Âë ñíi çía÷å |
|
|
|
|
, |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(2Власнi2 |
|
|
|
|
λn |
κn |
). Сукупнiсть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
¹рiвнянняданими |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r(k) κn |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ðозсiяння..486).510: Залежнiстьункцi¨.КМеволюцiонують. данихв часiрозсiяннязгiдно iз залежнiстювiд часу(див. .iвняння |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φt + φxxx − 3k2φx = 4ik3φ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.117) |
||||||||||||||||||||||||
|
• Континуальнийозглянемовласнуспектрункцiю. |
φ(x, t, λ) з наступними асимпториками: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Пiдставивши |
|
|
|
|
T (k, t)e− |
|
|
|
+ o(1) , |
|
|
|
|
|
|
x → −∞ |
|
|
|
(2.118) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
φ(x, t, λ) = |
e−ikx + R(k, t)eikx + o(1) , |
|
|
x |
→ |
+ |
∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ikx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
розклад на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → +∞ i зiбравши члени з eikx, отриму¹мо: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dR(k, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ïî |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8ik3R(k, t) = R(k, t) = R(k, 0)e8ik |
|
t . |
|
|
|
|
(2.119) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x âiä −∞ äî +∞ двiчi по частинам, одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
+∞ d2φ′ |
|
|
|
+∞ |
|
′ d2φ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dφ′ |
|
|
′ dφ |
|
+∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− n |
|
κ x |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«˛−∞ . |
|
(2.115 |
|||||||||
|
Z−∞ φ dx2 dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„φ dx − φ dx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ Z−∞ |
φ |
|
dx2 dx , |
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Залиша¹ться акурàòíî пiдставити межi у вираз для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˛ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
асимптотики для власно¨ ункцi¨. Зокрема це вираз (2.113). Длята |
|
|
|
|
|
вартоспiв˛ âикористатиiдношення: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наступнiцього ˛ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
dφ(x, k) |
|
→x→+∞ [a′(k) − ixa(k)]e−ikx + [b′(k) + ixb(k)]eikx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dφ(x, k) |
|
→x→−∞→ −ixe−ikx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
(x, iκn) → |
a′(iκ |
|
)eκn x |
+ [b′(iκn) xbn]e−κn x, x |
→ |
+ |
∞ |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
φ |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
−ixeκn x, −x → −∞, |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dφ(x, iκn) |
→ |
b κne−κn x, x |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Ç |
(2.113) |
|
|
|
dx |
|
|
|
κne |
|
|
|
|
, x → −ïåðø∞, ìó |
|
доданку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
íå |
|
складно |
здогадатися,n ùî |
â |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äëÿ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ó |
âèð çi |
äëÿ |
||
dφ′(x, iκn)/dx нас цiкавитиме на межi + |
∞ |
÷ëåí, ùî поводить себе |
|
ê eκnx. Aнаступнамежi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
−∞ член, що поводить себе як e−κnx íà |
|
ìåæi, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
асимтотика: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
öié |
|
|
|
|
вiдс тнiй. Тому нам корисна |
|
|
||||||||||||||||||||||||
у виразiВикористовуючидля |
|
dφ′(x, iκn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
κn x |
, що перший та другий доданки |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
вищезазначенi ормули отриму¹м |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
âñi |
|
|
dx |
→x→+∞ |
κna (iκn )e |
|
|
|
|
, x → +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
дають bnκna′(iκn ) òà −bnκn a′(iκn ), âiäïîвiдно. Звiдси отриму¹мо |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОтжЕквiвалентним||φ(x, iκn)||2 ≡ ||φ(n)(x)||2 = Z−∞ |
φ2(x, iκn)dx = ibna′(iκn ). |
|
|
|
(2.116) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
, отжоператорнулi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10 |
a (iκn ) 6= 0 |
ïiäõ äîì iκ¹ nвикористанняпростi. оператора |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
äå ïðè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (2.91) з представлення Лакса, |
||||||||||||||||||
|
x → ±∞ |
öåé |
|
|
|
|
|
ма¹ вигляд |
ˆ |
|
|
|
3 |
/∂x |
3 |
+ 4ik |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 4∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
Пiдставивши асимптотику на x → −∞, oтриму¹мо
dT (k, t)
чиномрiiв янняа-Краскала(2.119)-Мiури)-(2.120). називаються= 0 = a(k,рiвняннямиt) = const . КМ ( арднера(2.120)-
dt
• Для дискретного. спектру рiвняння КМ отримуються аналогiчним
|
|
|
|
( óíêöi¨ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a(iκn) = 0, at(iκn) = 0, |
|
|
||||
потенцiаломМетою2.4.6 даногоiвнянняпiдроздiлаbåëüóiκ¹n, t) ≡ bn(t) = bn(0)e |
8κ3 t |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
встановленняанда-Левiтаназв'язку-nМарченкмiж д нимиарозсiяння та |
||||||
æíiñòü âiä ÷àñóu(x, t) |
задачi на власнiмаютьзчення. Слiд з значити, що зале- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
спрощеннята) |
записiвприсутнянаступнi. алепредставлення:явноувiдповiдних |
||||
виразахБазиснiне вказу¹тьсяункцi¨t даних розсiянняметоюЙост u(x, t) |
|
|
|
|
|
|||||||
й гоДомножимопо на e |
|
/[2πa(k)] рiвнянняiндексу(2.102) (прив iвнянняхy < x)хнiй(2проiнтегру¹мо.121)-(2. . |
||||||||||
ψ(x, ±ik) |
= |
e±ikx |
+ Zx+∞ K(x, y)e±iky dy, K(x, y) = 0, x > y, |
1) |
||||||||
Çíàê "φ(x, ±ik) |
= |
e±ikx + Z−∞ M (x, y)e±iky dy, M (x, y) = 0, x < y. (2.122) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
+ |
|
iäïâiä๠iiky |
|
2, à çíàê "− |
|
|
|
|
|
|||
|
" |
|
|
дексу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
площинидеякогота контурунемiстить, якийвсерединiзнаходитьсжодних |
|
|
||||||||
Oòpèìà¹ìî:мплекснвздовж¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
нулiввер ункцi¨пiвплощинi |
a(k).
1 |
I |
φ(x, k) |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
eiky dk = |
|
|||
|
2π |
a(k) |
2π |
|||||
1 |
|
|
ik(x+y) |
|
|
|||
Беручи |
до уваги визначення |
|||||||
+ 2π I R(k)e |
|
dk + |
|
|
+∞ 1 |
||
I eik(x−y)dk + Zx |
|
K(x, z) I eik(y−z)dkdz + |
||
2π |
||||
2π |
I Zx |
R(k)eik(z+y)K(x, z)dzdk . |
||
1 |
|
+∞ |
δ- óíêöi¨ Äiðàêà
та ввiвши позначення
одержимо
δ(x) = |
1 |
I eikxdk, |
|
|
|
||
2π |
|
||
F (x) = 2π I R(k)eikxdk, |
(2.123) |
||
1 |
|
|
|
2π I |
a(k) |
eiky + δ(x −y) + K(x, y) + F (x + y) + Zx |
K(x, z)F (z + y)dz = 0. |
|
1 |
|
φ(x, k) |
|
+∞ |
2.4. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KДФ |
|
33 |
|||
Згiдно iз теоре ою Кошi перший оданок у вищенаведеному рiвняннi |
|
||||
ðiâíþ¹ íóëþ, |
óíêöiÿ ïiä знаком iнтеграла аналiтична на всьî |
||||
омплекоскiлькисно¨ площини, оточено¨ контуром |
|
. Îñêiëüêè |
|
, |
|
тому сегментiМарченк |
|
|
y > x |
Ëåâiòàíàδ(x −-y) = 0. Та:дi отриму¹мо кiнцевий вираз для рiвняння ель анда-
äà¹ìî |
îìóKðiâí(x, yííi) + F (óíêöiÿx + y) + Zx+∞ K(x, z)F (z + y)dz = 0 . |
(2.124) |
||||||||||||||||||||||||||||||
óíêöiÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x) цiлком визнача¹ться данимми розсiяння, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
я вста¹ невiдомоюовитизв'яз. |
ìiæ |
ядром |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ЗалишилосK(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
допомiжнi у кцi¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
а потенцiалом u. Çãà |
||||||||||||
|
|
ikx |
|
|
|
|
|
|
χ±(x, k), введенi у пiдроздiлi 122).4.4. Згдавши, що |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îсяпопредставленнямчастинам: |
(2. |
проiнтегру- |
|||||||||||||||||
ψ(x,пiдiнтегральнийk) = e χ (x, k)вираз,скористдина¹мраз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
K(x, y)eik(x−y)dy = 1 − ik Zx |
|
K(x, y)d eik(x−y) = |
|||||||||||||||||||||||
χ−(x, k) = 1 + Zx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+∞ |
(2 126) |
|||||
моПроi |
|
|
|
|
χ−(x, k) = 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
виплива¹ |
|
|
ik |
|
|
+ O k2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
= |
1 + |
|
ik |
|
|
+ ik |
Zx |
Ky (x, y)e |
|
|
|
|
|
− |
|
dy. |
|
|
|||||||||||||
отрима¹мо |
|
|
K(x, x) |
|
|
1 |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
ik(x |
|
|
y) |
|
|
O k− ), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2 110) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
жнатегрувавшипоказати,ùîïî ÷àñòèíàì пiдiнтегральний вираз в останнiй ормулi,(2.125) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
миВажливим2.4iнтегральних.7 3адачаетапомпредставленьОЗурси¹uвстановлен(x, t) = −2 dx K(x, x; t) . |
|
|
|
(2 127) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(ik)−1 Rx ∞ Ky(x, y)eik x−y dy = |
−Ky(x, x)/k2 + O k−3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Прирiвнявши в цiй ормулi та у виразi |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
доданки порядку . |
|
|||||||||||||||||||||
Çâiäñè |
|
|
наступна ормула. |
K(x, x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
óíêöiéíÿ Йостаункцiон льного зв'язку мiж ядра. |
|||||||||||||||||||
алом прямо¨ задачi розсiяння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(x, y) таперетворенняM (x, y) а потенцi- |
||||||||||||||||||||||
з . Марченком): |
|
|
|
|
|
|
u(x). Введемо оперàòîð |
|
(çãiäíî |
|||||||||||||||||||||||
äðùîiнгеравнянняперетворю¹озглянемоXfз потенцiалом(x) =бiльшрозв'язок(I + Kзагальну.)fвiльного(x) = f (x) + Zx |
|
|
|
K(x, y)f (y)dy , |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ситуацiюрiвняння. НехайШредiдаíгераодвауоператорирозв'язок(2цьогоШре.128)- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
i нехай |
L1 = − |
dx2 |
+ u1(x) , |
L2 |
= |
− |
dx2 |
+ u2(x) , |
(2.129) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
f1,2(x, k) ¹ вiдповiдними власними ункцiями: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
= k |
2 |
f1 , |
ˆ |
|
|
= k |
2 |
f2 . |
|
|
(2.130) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
L1f1 |
|
L2f2 |
|
|
|
34 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т
Якщо викону¹ться переплiтаюче спiввiдношення
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.132) |
||
то оператор |
|
|
|
L1X = XL2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.131) |
||||||||
|
|
|
ˆ переводить дин розв'язок рiвнянь (2.129) в другий: ˆ |
|||||||||||||||||||||||
f1 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xf = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðiâíÿ- |
|
ння. Наслiдкомна переплiтаючîйогоспiввiдношення буде ди еренцiальне |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
K(x, y). Встановимо |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=x − |
||||||
|
|
Lˆ1Xfˆ (x) = −f ′′(x) + dx [K(x, x)f (x)] + f (x) |
|
|
∂x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂K(x, y) |
|
|
||||||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2K(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
− Zx |
f (y) |
|
|
|
− K(x, y)u1(x) dy + u1(x)f (x) , |
|
||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Xˆ Lˆ2f (x) = −f ′′(x) − Zx+∞ K(x, y)f ′′(y)dy + u2(x)f (x) + |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
+ Zx+∞ K(x, y)u2(y)dy = |
|
|
|
|
|
|
y=x − |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= −f ′′(x) + f ′(x)K(x, x) − f (x) ∂K∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
∂2K(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ристовуалисяВ процесi обрахункуспiввiдношеннядруго¨ при iнтегруваннi по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
Zx |
f (y) |
∂y2 |
− K(x, y)u2 |
(y) dy + u2(x)f (x) , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
iншого, |
|
|
|
частинам ормули(2вико.133)- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂K(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
якi напряму випливаютьlim Kç(x,локалiзованостiy) = 0 lim |
|
|
∂y |
|
|
|
= 0 , |
|
|
|
|
|
(2.134) |
|||||||||||||
|
|
|
|
y→+∞ |
|
|
|
|
|
y→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
íî¨ ïîõiäíî¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x). Враховуючи вираз для пов- |
|||||||||||||||
ношеннята вiднiмаючинасту dx K(x, x) = |
|
∂x |
|
+ |
|
|
∂y |
|
y=x |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
d |
|
∂K(x, y) |
|
|
∂K(x, y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äíåïíомуз рiвигняньлядi:вiд |
|
|
|
|
îтриму¹мо переплiтаюче спiввiд- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
[u1(x) − u2(x)]f (x) + 2f (x) |
dK(x, x) |
− |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
− Zx |
f (y) ∂x2 |
|
dx |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
− ∂y2 − [u1(x) − u2(y)] K(x, y)dy = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
+∞ |
∂2 |
∂2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
щинiДля виконання |
iâíîñòi необхiдно незалежна рiвнiсть нулю виразiввипадокпло- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
óðñàà(Goursat) |
- ранцузькийu(x) = −2 dx K(x, x) . |
|
|
|
|
|
|
лянутияння носять |
||||||||||||||||
назву задачiтпотенцiаломгóðñèаничних11. Безумоввтратипризагальностi. Oтримамож |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(x, y) |
|
|
|
|
|
|
x = y |
|
|
|
|
|
вираз,дварозгрiв |
|
|
|
|
|||||||||
u1(x) ≡ìiæu(x) |
|
2(x) ≡ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
що встановлю¹ |
|||||||||
çâ'ÿçîê |
|
|
|
та.Toядромотриму¹мопредставлення:кiнцевий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11Едуард |
|
|
|
|
|
|
|
|
ìàтематик |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.135) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5 Солiтоннi розв'язки рiвняння КдФ.
.5. СОЛIТОННI ОЗВ'ЯЗКИ IВНЯННЯ КДФ. |
35 |
Виведеннямзастосування методуормулиОЗ(2.135). було завершено останнiй етап, необхiдний для
|
Lψ = k2ψ |
u(x,0) |
s(0):[r(k),κn,|b n|] |
ис. 2.3: Загальна схема ОЗ для розв'язання задачi Кошi методом ОЗ
2.5.1 Невiдбиваючiu(x,t) потенцiалиK(x,y), F(x) . Детермiнантнаs(t) : îðìó-
[r(k,t),κn(t),|b n(t)|]
наозглянемо1складовi: ункцiюпонапiвколуF (x) зрадiусу(2.123). Iнтегрування по контуру розiб'¹мо
2 |
вздовж лiнi¨ вiд |
R ; |
|
|
3 |
|
вздовж розрiзiв,−|Rпаралельних| + iǫ äî |R| +óÿâíiéiǫ; îñi, âiä |
||
4. Iнтегралиназад; |
по замкнутим колам радiусу |
0 äî iκ òà |
||
Спрямувавши |
|
ρ навколо iκn. |
по великому напiвколуR → ∞пр,ямуватимеǫ → 0, ρ →æèìî:äî0, держимо що внесок вiд iнтегралу
сують один одного. В резуль атi одер |
0, iнтеграли по розрiзам скомпен- |
||||||||||
Tyò res |
F (x) = 2π |
Z−∞ |
R(k)eikxdk − i n=1 |
R(k)eikx |
. |
(2.136) |
|||||
|
1 |
|
+∞ |
|
|
|
N res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
||
12Лишок[...] -ункцi¨лишок ункцi¨12. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) â |
iзольовнiй точцi |
z0 визнача¹тьсдитьякя |
|
|
|||||
|
|
|
res |
|
|
||||||
де контур |
|
|
|
|
[f (z0)] = |
1 |
IC f (z)dz, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2πi |
|
|
|||||
êè. |
C ¹ достатьно малим колом навколо z0 i îáõî |
проти годинниково¨ стрiл- |
36 |
|
|
|
2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ОЗДIЛозглянемо клас невiдбиваючих потенцiалiв u(x), тобто таких, для яких |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R(k) ≡ 0. Т дi одержимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
N |
res |
b(k) |
|
ikx |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
κnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, βn = |
|
|
|
|
|
|
> 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
F (x) = |
|
рiвняння eËÌ= |
|
|
βne− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
набува¹ наступного вигляду: |
|
|
|
|
|
(2.137) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
ia(k) |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ia′(iκn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
He кладноK(x, y) + n=1 e− |
|
|
βne− |
|
|
|
X |
|
|
|
|
138), |
|
|
|
|
|
|
dz = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ Zx |
|
|
|
K(x, z)e− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
κn y |
|
|
|
|
|
|
κnx |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
κnz |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.138) |
|||||||||||
|
|
|
|
ïîìiòèòè, ùî ÿäðî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
íîì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(x, y) розклада¹ться в ряд наступним чи- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ y |
|
|
|
|
|
останн¹ рiвняння |
||||||||||
Пiдстмаричнiйавившиу цейормi:розкладK(âx,рiвнянняy) = K(2n.(x e−отриму¹моn . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βne−(κn+κm )x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
A(x) K |
= b, Amn(x) = δmn + |
|
|
|
κn + κm |
, m, n = 1, 2, . . . , N, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
T |
, |
b |
|
= |
|
β |
|
κ |
x |
. |
|||
озв'язкомK = цьогоK (x),лiнiйного. . . , K (xрiвняння) , b = áóäåb (x), . . . , b |
N |
|
n |
− |
|
e− n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
{ |
1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
} |
|
|
|
|
|
{ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ(n) |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kn(x) = |
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Tyт матриця |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ(n) |
(x) |
отриму¹ться пiдстановкою в матрицi |
ˆ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x) вектора |
|||||||
b íà ìiñöi n-oго стовпчика. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уваги ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(m1,m2,...,mN ) |
|
Amk ,k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Беручи до |
|
det A = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,N,k=1,N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
чника. |
|
|
|
|
|
dAmn/dx = −βne−(κn+κm )x, розрахову¹мо похiдну визна- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
det Aˆ |
|
|
X |
( 1)p(m1,...,mN ) |
|
|
|
|
|
|
e−κm1 x)A |
|
|
|
|
|
|
|
|
e−κ1x+ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
( |
|
β |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
mk =1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 ,2 |
· · · |
mN ,N |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+Am1,1(−βm2 e−κm2 x)Am3 ,3 · · ·AmN ,N e−κ2x + . . . + |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ßêùî+A óíêöiÿA |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
β |
|
|
|
e−κmN x)e−κN x |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
m1 |
,1 m2 |
,2 · · · |
mN |
|
1,N −1 |
− |
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (z) представля¹ться у виглядi частки двох аналiтичних в z0 óíêöié |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (z) = Φ(z)/Ψ(z) i Ψ′(z0) 6= 0, òî |
res |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ(z0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[f (z0)] = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ′(z0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.5. СОЛIТОННI ОЗВ'ЯЗКИ IВНЯННЯ КДФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
êiíöå(2.139) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
детермiнантно¨èй розв'язокормули. |
|
e− |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
K(x, x) = n=1 Kn(x)e− |
|
|
|
= n=1 |
|
|
det Aˆ(x) |
|
|
|
|
dx ln hdet A(x) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
ˆ(n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κn x |
|
|
X |
det A |
|
(x) |
|
|
κn x |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
залежнiстьBикориставшиданих ðîåçсiювультàнняти зада÷i óðñè (2.135) òà ïiдставившиˆ ÷àñî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ормулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
βn(t) = βn(0) exp (8κn3 t), одержимо |
|
|
âó |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Нехай2яка.5.носить2 Односолiтоннназвуu(x, t) = − dx K(x, x; t) = −2 |
|
|
|
|
ln[det A(x)] , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
детермiнантну ормулу (2.139), де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
≡ −κ |
2. Застосовуючи |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
N = 1. Ò äi ìà¹ìî |
|
|
дне власне число λ1 = −κ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ïîìiòèòè, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β1(0) ≡ β, oтрима¹мо |
|
|
|
(2 34),(2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u(x, t) = −2 |
|
|
ln[1 + f ], |
|
f = |
|
|
|
e−2κx+8κ |
t = e−2κx+8κ |
t+φ0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx2 |
|
2κ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
df |
|
|
= |
− |
2κe− |
2κx+8κ3t+φ0 |
= äà¹:2κf . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.140) |
||||||||||||||||||||||||||
Подальше ñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
прощення цього виразу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u(x, t) = 4κ dx 1 + f = −2κ2 |
√f +21/√f |
= −cosh2[κ(x − x0 − vt)] , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
d |
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2κ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
розглянемоДвогохсолiтоннийрозв'язкувипадокщо .данийрозв'язоквираз спiвпада¹ з ормулами |
|
|
. |
|
|
|
.141).65 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тепер2дляНе.5складно.солiтоннv3= 4κ |
|
x0 |
= φ0/(2κ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 2альностi.Вак |
|
|
у випадку ма¹мо два власних |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
λ1,2 = −κ12,2. Без втрати заг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ìожна покласти κ1 > κ2. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + f1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β2 |
|
|
e−(κ1+κ2)x+8κ23t |
! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
det A = det |
|
|
β1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
κ1+κ2 |
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−(κ1+κ2)x+8κ1t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ1+κ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= 1 + f1 + f2 + f1f2 − |
|
4κ1κ2 |
|
|
|
f1f2 = 1 + f1 + f2 |
+ f1f2e |
12 , |
|
|
|
(2.142) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(κ1 + κ2)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
2κ1,2 |
|
|
|
2κ1,2 |
|
12 |
|
|
κ1 |
+ κ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
β1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
κ |
2 |
|||||||||
f = e−2κ1,2x+8κ1,2t+φ1,2 , |
φ |
|
= |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
= ln |
|
κ1 − (2.143). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(0) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2κ1(x |
|
|
4κ1 |
|
x1 |
) |
|
|
|
2κ2(x |
|
4κ2 |
|
x2 |
|
) |
|
|
|
|
|||||||||||
u(x, t) |
|
= |
|
|
−2 dx2 ln h2 |
|
|
(0)− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
2 |
|
(0) |
|
− |
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
+ |
|
e−2κ1(x |
|
|
4κ1 |
|
|
x1 |
) |
|
|
e−2κ2(x−4κ2−x2 )+Δ12 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.144) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x1,2 |
|
= φ1,2/(2κ1,2) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 ÎÇÄIË 2. ÎÁÅ ÍÅНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
раниця |
|
|
. Ïðè |
|
|
|
2 |
(0) другий |
|
а четвертий доданки у |
|
|
|||||||||||||||||
• |
першийx |
4κ2t+x(0) |
òðетiй та четвертий додàíêè íàáагато перевищують |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
→ −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
виразi в квадратнихt |
дужкахx 4κâ tðiâí.+ x (2.144) прямують до нуля, тому |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
Ïðè |
|
u(x, t) −dx2 [1 + f2] = −2κ22 cosh−2[κ2(x − v2t − x2 )] . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
раниця |
|
|
. Ïðè |
|
|
|
2 |
(0) |
äðóãèé та четвертий доданки |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
òà 1другий1 (якi ¹ порядку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O(1)), òîìó |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
12 |
|
|
(2.145) |
||||
|
|
|
u(x, t) − |
dx2 |
[f2 + f1f2e |
12 ] = 2 |
dx |
1 + f e |
|
|
= −8κ12 |
(1 + e 12 f1)2 |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
= −2κ12 cosh−2 |
κ1 |
x − v1t − x1 − |
2κ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• значно |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
перевищуt + ють першийx 4κòàt |
òðåòié+ x |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O(1)): |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
12 f2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
u(x, t) − |
|
[f2 + f1f2e 12 ] = −8κ22 (1 + e 12 f2)2 |
= |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ïðè |
|
|
= 2κ22 cosh−2 |
κ2 |
x − v2t − x2 − 2κ2 |
|
(2.146) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4κ12t + x1(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
u(x, t) − |
|
[1 + f1] = −2κ12 cosh−2[κ1(x − v1t − x1 )] . |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx2 |
|
|
t |
|
x=4 κ22 t + x 2(0)+ − 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2κ2 |
|
|
|
|
|
|
x=4 κ |
2 t + x (0) |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x=4 κ 2 |
t + x (0) |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
(0) |
12 |
|
|
|
У вищенаведенихx=4 κ t +èñxормулах. +2−.4: Двохсолiтонна вза¹модiя |
|
|
|||
1 |
1 |
κ1 |
|
|
|
v1,2 = 4κ1,2. На часах t = ±∞ óíêöiÿ u(x, t) вигляда¹ як два солiтони, що знаходяться на безмежнiй вiдстанi.
2.5. СОЛIТОННI ОЗВ'ЯЗКИ IВНЯННЯ КДФ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
При цьому бiльш |
|
|
видкий солiòîí ïiñëÿ çiòêнення отриму¹ азовий зсув |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вперед, а повiльнiший - назад. Величèíа азового зсуву |
|
|
|
|
|
|
(2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
δ = 1 ln |
|
β (0) |
|
|
κ1 |
− κ2 |
|
|
|
|
2 |
κ2 |
− κ1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
пактномуВираз длявиглядi:двохсолiтонного= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
розв'язку можна записати у наступному ком- |
|||||||||||||||||||||||||||||
çîê äëÿ äNвиразльoëiòîíо¨ормулаiлькостiвiдповiда¹íi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
u(x, t) = |
|
2(κ2 |
|
|
κ2) |
κ1 sinh−2[κ1x − 4κ13 + δ1] + κ1 sinh−2[κ2x − 4κ3 + δ2] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Äåòермiнантнà |
|
|
1 |
− 2 |
|
κ1 |
otanh[κ1x |
|
|
4κ3 + δ1] + κ2 tanh[κ2x |
|
|
4κ3 |
+ δ2] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Прикладозглянемо. початкову умо у |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
< κN −1 |
|
|
2 |
|
|
.147) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ñîëiòîí, |
|
|
κ1 + κ2 |
|
|
|
|
|
|
κk |
κN |
< · · · < κk < |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.5.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x, 0) = −6 cosh−2(x). 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
розв'язкиможливiстьсолiтонiв. побудувати явнозсувiвлiтоннийрахунок |
|
çâ'ÿ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
èð |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якийподроб |
|
ць дивзначенню.книжку. Зокрема[1) дляз цi¹¨азî |
гомулисуву,моякийжна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
àòèó¹ |
|
|
|
|
|
|
(ùîäî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
· · · κ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
îãî, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
якi отриму¹ за |
|
|
|
|
|
âçà¹- |
||||||||||||||||
модi¨.iзВiн склада¹тьс |
|
iз суми зсувiв вперед, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
отримавNiç−k солiтонам |
, ùî ïîâiëüíiøi çà íü |
|
à iç |
|
|
|
|
назад, якi вiн |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k − 1 швившèми солiтонами: |
|
− n=1 |
κk + κn |
|
|
# |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
k − k |
|
2κk |
"n=k+1 |
|
|
κk + κn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
κk |
|
|
κn |
|
k−1 |
|
|
κk |
|
κn |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
пчника.1325Дляϕ. |
|
ϕ− |
= |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
УмовоюКвантоваяцьогослiдпроквантовомехзгадатианикпотенцiалурезультати.Hepeçîðîñòi ÿтивистскзадач 5ая(парагратeoря , Л23) |
.Д.тЛанда4(пурагратЕ.M25). Ли(2з пiдру.149)шиц,- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
якстомусовнопокладеноруху |
задля простотианiчно¨ |
|
|
|
|
|
|
опису¹ться |
рiвнянням |
Шредiнгера |
(â |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(x) = частинки,−U0 cosh ùîx, U0 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~2/2m = 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
¹ наступне спiввiдношення: |
|
|
»− |
|
d2 |
|
+ u(x)– ψ = λψ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
óíêöiÿ |
. Oòæå, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
скада¹тьсяs > n, aç äâîõF - гiпергеометричнарiвнiвз |
|
|
ìà¹ìî s = 2 äëÿ U0 = 6, спектр |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Очевидно, що |
|
|
|
|
|
|
n = 0, 1, |
|
|
= n(n + 1) , |
|
1−tanh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
4U0 + 1 = (2n + 1)2 = U0 |
n = 0, 1, . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Дискретний nспектр= 2 äëÿ U0 = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λn та власнi ункцi¨ задаються наступними спiввiдношеннями: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
λn |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 4U0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
−4 h−(1 + 2n) + |
|
|
|
, |
|
n = 0, 1, 2 . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.148) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tanh x |
– , |
|
|
|
√1 + 4U |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||
ψäån |
= |
(1 − tanh2 x)(s−n)/2F »−n, 2s − n + 1, s − n + 1, 1 − |
|
2 |
|
|
s = |
|
|
2 |
|
0 |
− |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
òîäi |
|
|
|
|
“ |
|
|
|
|
|
|
|
” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
F |
|
n, 5 |
|
n, 3 n, |
|
|
|
|
|
= |
8 |
|
|
|
|
|
1−tanh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
„− |
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
1 |
|
tanh x |
« |
|
|
< |
|
|
|
|
F 0, 5, 3, |
|
|
2 |
|
|
= 1, n = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
F |
1, 4, 2, |
|
2 |
|
” |
= tanh x, n = 1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
:
40 ОЗДIЛ 2. ОБЕ НЕНА ЗАДАЧА ОЗСIЯННЯ ДЛЯ IВНЯННЯ KO ТЕВЕ А-ДЕ Ф IЗА Т |
|||||||||||||||||||
Важливим наслiдком цi¹¨ ормули ¹ те, що |
|
|
âçà¹ìîäiþòü ëèøå ïî |
||||||||||||||||
парно, тобто три- (i бiльше) солiтоннi вза¹модi¨ вiдсутнi. |
çñóâ ìiæ |
||||||||||||||||||
Якщо2сивнiшедвома.5.5 почсолiтонамивза¹модiютьВпливткова умкпропорцiйнийонтинувасолiтониальногоiз ln[1/(κ1 − κ2)] |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
близькимиспектрусолiтонишвидкостям, . очевO.днокiлькищонайiнтен- |
|||||||||||
|
ядрозначно складню¹тьснееволюцiяневiдбиваючимвнаслiдпотенцiалонаслiдктогощомнемо,торозв'яжливо- |
||||||||||||||||||
çàакторизуватиíÿ çàä ÷i Êîøi |
u(x, 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нтинутковогоального(д набспектрурозв'язок¹ рiвнянiте,що ЛМ. Основнимпочтк |
во¨ умоом призведесутностiд |
||||||||||||||||||
ä ä |
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
èчнульовогоякцугудинамiкурнiшеплоскихрiвнянняцизначаютõвильможнахивль. Вся.отримаiзакомувла |
|||||||
дкудопомогоюада¹мо,важливимдискретногощоперетворення¹держатиспетру)солiтонiв,лiнiйногоФур'¹:асимптотутворенняякi,хв |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Íàã |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стивостейпза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äåf (x, t) = Z−∞ |
g(k)e−iω(k)t+ikxdk , |
g(k) = 2π |
Z−∞ |
f (x, 0)e−iω(k)t+ (2dx,.150) |
|||||||||||||||
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
|
|
ikx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поведiнк |
|
, ξ2 = −x/12t, |
|
(2.151) |
||||
виведеннямu(x, t) = −2√t hϕ(ξ)e− 16ξ ttiα(ξ) |
+ k.c.i |
|
|||||||||||||||||
ãî ðîçâ'ÿçîêω(k) - законпридисперсi¨. Якщо система диспергуюча (ω′′(k) = 0), òî éî- |
|||||||||||||||||||
|
|
t → ∞ áóäå ìàéæ |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
x, t â |
|||||||
ϕ(ξ) α(ξ) |
|
|
|
|
складнi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
àçè äëÿ x = vt |
||||
знахоколiдимоx/t = v = O(1). Скориставшись мето |
|
|
|||||||||||||||||
äå |
|
|
|
|
f (x, t) |
|
g(k, v e [k(v)x−ω[k(v)]t], |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kÄëÿ(v) -рiвнянняорi ь рiвнянняКдФасимтотичнаkv = ω′(k) |
|
|
|
|
а зада¹ться ормулою |
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2амiльтонова..66.1 , Piвнянняамiльдано¨структурадостатньтоновармулиКдФу . азовомуякструктуравиразигамiльтоновапросторiякiнаведенорiвняннясистемав книзiКдФ[1 разом iз |
|||||||||||||||||||
¹ться дужкою Пуассон : |
|
|
|
|
|
|
|
|
M парно¨ розмiрностi N çäà- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.152) |
|
|
|
|
|
{f, g} = |
X |
|
ωij (ξ) |
∂f |
∂g |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ò ò |
|
|
|
|
|
|
|
∂ξi |
∂ξj |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i,j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
íêöiÿì |
- координати точки в |
M |
. Дужка Пуассона спiвставля¹ двом |
||||||||||||||||
ó (ξ1, ..., ξN ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Boíàf,антисиметрg : Mососиметричнiсть→ R чнатретiй h : M → R ма¹ наступнi властивостi: |
|||||||||||||||||||
що означа¹ к |
|
|
|
|
{f, g}матрицi= −{g, f }, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω: ωij (ξ) = −ωji(ξ); |
|
|