Zolotaryuk_lectures

2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ

41

2. Ma¹ мiсце тотожнiсть Якобi:

сторiДужквалгебруПуасонаЛi.Якщоперетво{{f, îág}, h} + {{h, f }, g} + {{g, h}, f } = 0

вiдображатию¹ лiнiйункцiюийрiвнянняпрост ункцiй на азовому про

тона, то можна

держати

å íÿ öi¹¨h(ξ)алгебриназвати¨¨себе,ункцi¹ю амiль-

(

f (ξ) → f (ξ, t

f (ξ) = f (ξ, t = 0)) за допомогою ди .

Зокрема, обравши

df

= {f, h} ,

(2.153)

dt

f y виглядi

N

Y

Oтриму¹мо

амiльтона:

; t) =

δ[ξi − ξi(t)],

рiвнянняf (ξ1, ξ2

, . . . , ξn

i=1

глядуБудь-яка кососиметрична

dξi

=

X

ωij

∂h

áóòè,

ìàòðèöÿ ìîæå

∂ξj

приведена до блочного(2.154)ви-

dt

j

,андартнiй

0 J 0

·· ·· ··

0

0

1

J

0

0

· · ·

0

1

0

0·

0·

0·

· · ·

J·

−

ω =

, J =

.

0 0 J

0

Вводячи координати та iмпульси у звичному виглядi:

(2.155)

· · ·

рiвняннÿ

ãî,

çà

ìiíþ¹ìî

âiä

ií

новимiрного

íàòó14азовогоПерейдеÂàðiàöiéíàx, íàáiðпрмооспохзмторутеперiннихднаäîâiääî(íåñêií÷p , q ) наенн ÊäÔu(.xПерехо) õiäíóячномеи âàðiàöiéíóð çìñê íî¨÷å

(2.157

ξ2 −1

= p ,

ξ2i =

qñòi

= 1, 2, ...,ормi:N/2, oдержимо рiвняння амiльтона та дужку Пуассона в

óíêöi¨ H(u, ux, uxx, . . .) ìà¹

вигляд

∂h

∂h

p˙ = −∂qi

q˙i

= ∂pi

,

6)

X

∂f

∂g

∂f

∂g

X

{f, g} =

∂q

∂pi −

∂p

∂q .

ðiâíiñòü

i

ïîëå

, ïî

наступний

похiднунакоорди14-.

δH

∞

d

«

n ∂ (u, ux, uxx, . . . , u(n), . . .)

+∞

(n)

δu

= n=0

„−dx

H

∂u(n)

, H[u] = Z−∞ H(u, ux, uxx, . . . , u

, . . .)dx ,

òîáто повинна задовiльнятися

ǫ→0

H[u + ǫη]

−

H[u]

+∞ δH

ǫ

Z−∞

δu

lim

=

ηdx ,

∂

2

∂ δH[u]

+∞

u2

3

x

Maþ÷è íà óâàçi, ùî

Z−∞

+ u dx .

ut =

∂x

(3u

− uxx) = ∂x δu(x) ,

H[u] =

2

(2.158)

+∞

δH[u]

∂

δH[u]

робимоцьомувисновокпiдсукупнiстьоорPольдинатамите,щознаписукцi¨рiâíÿííÿ ÊäÔ (

2.158)

Ïðè

− Z−∞

δ′(x

− x′) δu(x′) dx′

= ∂x δu(x

ìà¹,

игляд (2(2.154).159).

слiд розумiти

¨¨

÷åíü

òî÷êu (яках ¹прточкоюямо¨ в азоâому просторi)

iндексiв

(2.154).

ункцiяграють роль

кососиметрично¨ мат ицi xðà¹, x ò

x′

−δ′(x − x′). Дужка Пуассона матиме наступний виãëÿä:

ω(x, x′ =

+∞

+∞

δS

δR

{S, R} = Z−∞

Z−∞

ω(x, x′)

dxdx′ = |Iнт. по частинам| =

δu(x)

δu(x′)

+∞

δS

∂ δR

ì๠ÿê ìiíiìóì(2.160)òðè

iнтеграли1Зазначимо,Функцiярухó:ùîàìiëüòбудонаü-ÿêå рiвняння вигляду (2.159)

= Z−∞

δu(x) ∂x δu(x) dx .

2. Пов'язаний з структуроюH; дужки Пуассона заряд (маса):

+∞

Взявши до уваги те, що Q = Z−∞ u(x)dx .

Пуассона:

δQ/δu = 1, pозраху¹мо вiдповiдну дужку

+∞

δH

∂ δQ

якогооскiлькив пëèâà¹

iç

òðàíсляцiйно¨ iнварiантностi(2.161)

3. гамiльтIмпульс,нiаназбереження.Дiйсно,{H, Q} =

Z−∞

δu(x) ∂x δu(x) dx = 0 .

кладемо

H[u(x + a)] −H[u(x)] = 0, u(x), a, ðîç-

H[u(x + a)] â ðÿä ïðè a → 0:

+∞

H[u(x+a)]−H[u(x)] = Z−∞ [H(u(x+a), ux(x+a), ...)−H(u(x), ux(x), ...]dx ,

1

+∞ ∞

∂

u(n+1)dx = ( )

lim

(H[u(x + a)]

H[u(x)]) =

−

∂uH(n)

a→0 a

Z−∞ n=0

+∞

X

∂H

u

dx =

+∞ d

∂H

u

dx,

− Z−∞ dx

∞

Z−∞ ∂ux

xx

∞

∂ux x

( ) =

+∞

d

∂H

u

dx =

· · ·

=

+∞( 1)n

dn

∂H

u

dx .

dxn ∂u(n)

− n=0 Z−∞ dx ∂u(n)

x

n=0 Z−∞

−

x

X

X

2.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ

43

Bикористовуючи

Z−∞

виразè,

ñèëó (2.153) ˙

{P, H} = 0, à îòæå, â

Введемо iмпульс як

δu(x) ∂x dx = 0.

+∞

δH ∂u

P =

Z−∞ u dx

u(x) = δu(x) .

+∞

δP

Використовуючи останнi три 2

отрима¹мо

(2.162)

+∞

å

In = Z−∞ Tn(u, ux, uxx, . . . , u(k), . . .)dx ,

(2.163)

äля кожпоогоiноми ункцi¨

днознат ¨¨ похiдних. Функцiя

,

,

Tn

u(x)

a(k) 0 < k < +∞

кцiюЗарiванаянняогi¹юШредiнгераявля¹квазiкласичногособою наближечнoвиз аченийня,представимоу кцiоналвласнувiд. ун-

ë

k

u

φ(x, k) äëÿ |k| 1 в наступному виглядi:

x

частинки:зробити, побудувавши розв'язок за допомо(2.164)-

гоюТаке спостереженняункцi¨рiнаφâiëüíî¨(x,íåkскладно) = exp −ikx + Z−∞ χ(x′, k)dx′ .

+∞

φ(x, k) = e

ikx

− Z−∞

G(x, x , k)u(x )φ(x , k)dx

=

(2.165)

−

′′

′

′

′

= G(x, x′, k) =

sin k(x−x )

, x′ < x

=

k

0 , x′ > x

1

x

ikx

2ik(x x′)

ikx′

e

1 +

u(x′)φ(x′, k)dx′ =

−

2ik Z−∞

− − 1 e

=

e

1

x

.

1

ßêùî = e−ikx

−

Z−∞ u(x′)dx′ + O

2ik

k2

ïðè

k > 0, òî ïðè x → +∞ отрима¹мо φ(x)eikx = a(k). З iншого боку,

k → ∞ ìà¹ìî a(k) → 1.

+∞

Шредiнгера

(2.166)

Пiдставивши (2.

в рiвнянняln a(k) =

Z−∞

χ(x, k)dx .

рiвняння типу 164)iêêàòi:

−φxx + uφ = k2φ, одержимо

χx + χ2 − u(x) − 2ikχ = 0 .

(2.167)

∞

χn(x)

(2.168)

Пiдставивши розклад (2.168)χ(x,â (2k).167),=

îдержу¹ìî:.

n=1

(2ik)n

X

∞

χ′

(x)

χn(x)

∞ χn(x)χn′ (x)

n

одногî ï ðÿäêó ïî

+ n′=1

(2ik)n+n′

#

= 0 ,

Збираючи−uчлени(x) + n=1

" (2ik)n

− (2ik)n−1

X

X

спiввiдношення для невiдомих

ое iцi¹нтiв, отриму¹мо наступнi рекурентнi

k−n

ïîäâiéíó ñóìó ÿê:

χn(x). Зокрема, перепису¹мо

∞

χn(x)χn′ (x)

χ2

2χ1χ2

χ2

+ 2χ1χ3

∞

1

n−1

peçóльтатi отриìó¹ìî1

2

′

′

(2ik)3 +

+· · · =

χn−n

B ′

=1

(2ik)n+n′

=

(2ik)2 +

(2ik)4

n=2

(2ik)n

′

χn

.

n,n

n

=1

X

X

X

χ

(x)

=

−

u(x) , χ

(x) = χ′

=

−

u′(x) ,

69)

1

2

1

n−1

Випишемо явноχäåêiëüêà(x) =êîåχ′iöi¹íòiâ:(x) +

χ

n

′ (x)χ

n−n

′ (x) .

(2.170

n+1

n

n′=1

X

χ2(x) = −ux

χ3(x) = −uxx + u2, χ4(x) = −uxxx + 2(u2

x

χ5(x) = −uxxxx + (u2)xx + ux2 + 2uxxu − 2u3 = uuxx = (uux)x − ux2

2

2

3

(2.171)

He складно= [ uxxx + 2u

+ùî2uux]x

ux

2u .

−

−

−

ùî

це справедли o

я будь-якогота

(x)

¹ повними похiдними. Покажемо,

χ2(x)

χ4

χ2n(x). Використавши представлення

ÿâíî¨

(2.167), випишемо

рiвняння для у

iддiлившичастини.дiйснуОдержимотауявнунаступне:

χ = χR + iχïîìiòèòè,I

частини

dχI

1

dχI

1 d

Ïîзначимо

2)

− 2kχR = 0 χR = −2(χI − k) dx

= −2 dx ln(χI − k) .

dx

+ 2χRχI

+∞

Вирази

2In−1 = Z−∞ χ2n+1(x)dx , n = 0 1, . . . .

(2.173)

In[u] ¹ iнтегралами руху. Випишемо декiлька перших з них:

+∞

+∞

+∞

2I−1 = − Z−∞ u(x)dx , 2I0 = Z−∞ u2(x)dx 2I1 = − Z−∞ (ux2 + 2u3)dx ,

+∞

2

2

4

дньомуОчевидно,роздiлi,що першiзокрематри ¹ законами

2I2 = Z−∞

(uxx

−

5u uxx + 5u )dx збереж. åííÿ, âèç

ченими в попере(2.-174)

.6. АМIЛЬТОНОВА СТ УКТУ А IВНЯННЯ КДФ

45

2.6.3 Зв'язок iнтегралiв руху та даних розсiяння.

Дослiдимодискретного спектраункцiю (k) детальнiше. Оскiльки вона ма¹ N нулiв в точках

k = iκn, то введемо ункцiю

N

k + iκn

Дана ункцiя ма¹ наступнi властивостi:

.

1(k) = a(k)

−

iκn

n=1 k

Y

• Залиша¹тьсячином

аналiтичною при k > 0, але вже нема¹ там нулiв, таким

ln a1(k) aналiтична у верхiнй пiвплощинi;

= a (k)ψ2(x, k) + b (k)ψ1(x, k),

звiдки елементарно виплива¹

Çãiäíî

ормулою Кошi

a( k) = a (k).

−

ln a1(k) =

2πi

Z−∞

k′

− k

dk′

,

5)

1

+∞ ln a1(k′)

Замiнюючи

0

=

2πi

Z−∞

k′

+ k

dk′