Zolotaryuk_lectures

Çìiñò

1

Вступ

та дисперсi¨.

5

1.1

Конуруючi е екти

1.1.3

E åкти нелвластивостiнелiнiйностi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1

Загальнi

рiвнянь першого порядку

6

2

2

iп рболiчнi неди пергуючi хвилi

7

Оберненат його розв'язкидача

ля рiвняння Koртевега-де Фрiза

11

1

Õâèëi

âîäi,

розсiяннярiвнян К Ф . . . . . .

2

Ê

3

Фазова

площина

КдФПастйого розв'язки

5

íòèíó

границя

задачi Фермi-

а-Улама.

3

озв'язкильнавл стивостi

äëÿ

рiвняння KдФ

18

2.4

Обернена задача

1

Iнт грали

уху рiвняння КдФ

2

2

еретворен

Ìióðè

3

3

едставлеозсiянняЛакса . .

5

4

Ïðяма задача розсiяння

26

5

Залежнiсть даних розсiяння вiд часу. iвняння КМ.

1

4

6

iвняння ель анда-Левiтана-Марченк

2

7

3адача урси . . . . . . . .

3

2.5

1

потенцiали. Детермiнантна ормула

5

Солiтоннi розв'язки рiвняння КдФ.

2

НевiдбиваючiОднос

ç

7

3

Двохсолiтонний

â'ÿçîê

09

3

3653

4

5.432154

зв'язкизадачатоноваПовнаЗв'язок

6

2.àìiëü

N

тОбернена2.6 ¨хнi

1

Знах дження елементарних розв'язкiв рiвн

Ñ€

4

2

Побудова

îìóò

представлення

ë

рiвняння синус-

60

3.3

Обернена

задачаацiйногорiвнянняр зсiяння дл

системи

äâîõ Ä . . . . . . . .

ордон т

íåëiíiéí

3

Шредiнгера . . .

8

îçäië 1

Вступ

даного курсу лекцiй можна знайти

книжках [1,

Iн ормацiю з

òîì

тематикирпнi 1834 року пiд час проведення ек

äëÿ

проектування

áàðæ

àíàëi Þ iîí

Единбурга. Оñьпериментiвщо писа ас

2, 3 .

Солiтон вперше спостерiгався британським дослiдником Джоном Скот

сел з приасселом

ого спостереж

íÿ:

âå

швидкiстю,

..., потiм вiдiрвалося вiд нь

пок тилася вперед

áó øè

вигляду ве

óñ

поблизудвищення;

гладкий, чi-

òêî

âираже ий горб води продамiтненогожував свiй рух вздовж кана

áåç

íà êîíi i

догнав

¨¨, ликогоона все ще рухал ся зi

ликоюб изько восьверхи

змiни орми або зменше ня швидкостi. Я кину ся

цi¹ю хвилею

â

àòèâ ¨¨ íà

згинах каналу. Так

серпнi мiсяцi 1834округлий,. вiдбуласявидимо¨

àáî

åâ'ÿòè ìèëü

годину,

é âiä óòà

швидкiстюу орм

мала лизько

íòiâ

довжину

пiвторза тiв

âèñî

ó. ˆ¨

исота постóпово зменшувалась,зберiгаючипiсляпочаткоäíi¹¨ àáî äâîõ ìèëü ãîíèò

тридцятиназвав Хвилею Переносу...

перша випадкова зустрiч з цим незвичайним та прекрасним явищем, ÿêå

1.1

Конуруючi е екти нелiнiйностi

диспер-

озглянемо загальне лiнiйне ди еренцiальне рiвняння в частинних

ïîõi-

ñi¨.

íèõ íà óíêöiþ u = u(x, t):

ˆ

(1.1)

äå

L[u] = 0 ,

ˆ

я .длямеЗа-

àстивостейнеоператоррiвяннядисперсiйнможназпостiйнимизв'язугоспiввiдношенкоеатиiцi¹нтарiзниìè

лiнiйнтонаявностiдамиL - .хлiнiйнийВхвильпочатковихзалежностiдиеренцiйнийумоввiдилi

ω = ω(k), xâ

ìîæí

класи i увати наступним чиíîì: 1

•

кiстьДиспергуючiне¹сталоюхвилiдлякщовсiхω′′(k) = 0

6

значень . В

акому випадку азова швид

альнi1Цядлякласизада iкацiяданогонеспецкурсувичерпу¹.

можливi5 типиk. Toмухвиль, початклише овийвизнача¹iмпульстипи, актуроз-

1.1. КОНУ УЮЧI ЕФЕКТИ НЕЛIНIЙНОСТI ТА ДИСПЕ СIˆ.

7

орму1зглянемо.2 лоювсе iперболiчнiсiмействорiвнянняцих(1.6)кривих.недиспергуючiЗагальний. розв'язокхвилiцього. Величинарiвняння зада¹тьсяпараме-

1тризу¹.

u = f (ξ)

ξ

u(x, t) = f (x − ct), äå f ¹ довiльною ункцi¹ю. Конкретизу¹мо

f , взявши наступну початкову умову.

(1.11)

вигляд розв'язку

0 ,

÷àñó|x| > a

Тому явний

u(x, 0) = f (x) =

a2 − x2 ,

|x| ≤ a

для ненульового

тично:

t запису¹ться автома-

Öåé

0 ,

|ξ| > a

вiд часузмiню¹0стацiонарним, |x −,ctòîìó| > aùî. iмпульс

u(x, t) =

a2 − ξ2 ,

|ξ| ≤ a

=

a2 − (x

− ct)2 ,

|x − ct| ≤ a

(1.12)

розв'язок явно не залежить

fрiвняння(ξ) руха¹ться(1.6)задовiльняютьiз швидкiстю c

íå

свою орму. Характеристики

dx/dt = c.

(b)

t

t

dx/dt=u

(a)

dx/dt=c

x

x

нелiнiйногоис. 1.1: Характеристикирiвняння лiнiйного хвильового рiвняння ut + cux = 0 (a) òà

ut + uux = 0 з початковою умовою (1.11).

8

нелiнiйностi

ОЗДIЛ 1. ВСТУП

1.1.3

озглянемоE .зв.ектирiвняння Бюргерса без дисперсi¨

нянняозв'яжемома¹вигляд:йогометодом характеристик. Вiдповiдне характристичне(1рiв.13)-

ut + uux = 0 .

dt

dx

du

отже вздовж характеристики

викон= ó¹òüñÿ=

вираз,

(1.14)

0

1

u

величи а

dx

= u ,

(1.15)

dt

=

2t2

− ut) .

− | ≤

(1.17)

Варто пiдкреслити, що невiдомаu(x, t) óíêöiÿ= f (x

(1.16)

Очевиднавищена еден t > ts

ts

÷èòè,

допустимi обидва знаки у

u(x, t) входить в аргумент ункцi¨

0

,

| | ≤

|ξ| > a, −

u(x, t) =

a2

− ξ2

,

ξ

a, ξ = x

ut =

Ïðè ïå íîìó

||x

− ut| > a .

2xt−1±√

1−4xt+4a2t2

x

ut a ,

му виразi,дерозв'язкутойщечасслiдяквизнапри

ктеристик.двîзначнiсть

, те саме можнавартопобачитибратиз лишеаналiзу хара-.

t

≤ ts

+

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.

ис. 1.2: Поведiнка-1 розв'язку-0.5 нелiнiйного0

рiвняння0.5

1

вою умовою (1.

11)

ïðè

ut + uux = 0 з початко-

початкЗчення

a = 1 умовимоменти часу t = 0.1, 0.3, 0.5.

овий моментзначимо

çìiíè

ахилу похiдно¨ в точцi

x = a

. Â

ts

неоднозначною лèøåuxïðè(a, 0) = −2a < 0. Ôóíêöiÿ u(x, t) ïðè x ≥ a ìîæå áóòè

ux(a, 0) > 0, òîìó

1.1. КОНУ УЮЧI ЕФЕКТИ НЕЛIНIЙНОСТI ТА ДИСПЕ СIˆ.

9

Звiдки елементарно

(

0

,

x

ut > a .

ux(x, t) =

1 (1−4xt+4a2t2 )−1/2

,

|x − ut| ≤ a ,

t

виплива¹

|

− |

çâiäêè

ux(a, t) =

2t

2

,

(1.18)

2t2

1 −

2at

ξ = x − ut .

ux = ∂ξ ∂x = fξ [1 − tux] = ux(x, t) = 1 + tfξ

,

(1.19)

1

t

виглядуПопереднi. Введемомiркування. початковiйлегковираз:умовiзширити(1.11)початковийнапочатковiпропроiльiлi загальногоорми

ts = 1/(2a)

f (x

Ди еренцiюючи

èðàç (1.16)

маючи на увазi ux = uξ , отриму¹мо для.

ïîõiäíî¨

ux(a, t) наступний

∂f ∂ξ

fξ

Я що початк

îâèé ïðî iëü

f (ξ)мiнiмальному¹вiд'¹мний хил в певнiй точцi ξ, то при

вц окаволiть перший такий[тобтомоментпри

ðîñó iëþâ'ÿçîêíàперестмiнiмумуча¹ бути, оскiлькиднознач насим

t > ts = (−1/fξ)min

(−1/fξ)

ç óхвилiютьсямови. без змiни ункцi¨орми. Íåëiíié-.

ïовсюдж¹ться

Bиснопризâîдитьк. Лiнiйнiдо де,хвилiормацi¨визнароз÷à

−1/fξ(ξ)

íiñòü x0

= ξ0 +tsf (ξ0) ξ0

10

ОЗДIЛ 1. ВСТУП