VM_pidr

елементів, в т.ч. з розглянутого i -го рядка, то λ можна винести з цієї суми за дужки. Якщо записати вираз в дужках у вигляді визначника, то одержимо попередню рівність.

Наслідок. Якщо довільний рядок (або стовпець) визначника помножити на число λ, то величина визначника зміниться в λ раз.

Зокрема, якщо елементи, наприклад, першого рядка визначника другого порядку мають спільний множник “ λ ”, то

елементи першого і другого рядків мають спільні множники “2” і “4”, тому їх можна винести за знак визначника

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка (або стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка (або стовпця), то визначник дорівнює нулю:

Доведення. Нехай елементи i -го і k -го рядків пропорційні. За властивістю 5 постійний множник пропорційності λ можна винести за знак визначника. При цьому одержимо добуток числа λ на визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю (за властивістю 4).

11

= ( −18 + 2 + 0 + 0 − 8 − 6 ) + ( −12 + 2 + 0 + 0 − 8 − 3 ) = −30 − 21 = −51.

Властивість 8. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів довільного рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число λ:

Доведення. Для доведення представимо визначник правої частини згідно з властивістю 7 у вигляді суми двох визначників:

В другому визначнику правої частини елементи і-го рядка пропорційні відповідним елементам k-го рядка, тому за властивістю 6 такий визначник дорівнює нулю. Отже, має місце властивість 8.

13

Приклад 7. Обчислити визначник

Тут ми до елементів третього рядка додали відповідні елементи першого рядка, помножені на число “-3”.

Надалі, властивість 8 використовується для обчислення визначників вищих порядків. При цьому в довільному рядку ( або стовпці) утворюємо всі нулі, крім одного елемента.

Нехай маємо визначник n − го порядку ( n > 3 ) ;

порядку називається визначник ( n − 1 ) − го порядку, одержаний

визначника n − го порядку називається мінор для цього елемента, взятий із знаком “+”, якщо число ( i + j ) - парне та із знаком “-”,

Алгебраїчні доповнення A13 і A32 знайдемо за попередньою формулою:

A13 = ( −1 )1+ 3 M13 = М13 ; A32 = ( −1 )3+ 2 M32 = − M32 .

14

Згідно з означенням 1 маємо:

Шукані алгебраїчні доповнення будуть A13 = 6; A32 = −18.

Властивість 9. (Теорема Лапласа).

Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення:

i =1

Ця теорема називається ще теоремою розкладу. При цьому перша формула є розкладом визначника за елементами його рядка, а друга - розкладом визначника за елементами його стовпця.

Доведення. Доведемо цю властивість для визначника третього порядку:

− a12a21a33 − a23a32a11 = a11 ( a22a33 − a23a32 ) + a12 ( a23a31 − a21a33 ) +

+ a13 ( a21a32 − a22a31 ).

Однак,

Таким чином, = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 .

15

Це формула розкладу визначника за елементами першого рядка. Аналогічно можна знайти розклад визначника за елементами іншого рядка або довільного стовпця.

З допомогою цієї властивості, обчислення визначника n − го порядку зводиться до обчислення визначників ( n − 1 )- го порядку.

Тому при обчисленні таких визначників найкраще вибирати для розкладу рядок або стовпець, в якому є нулі. При цьому будемо обчислювати не n визначників ( n − 1 )- го порядку, а менше.

Приклад 9. Обчислити визначник 3-го порядку , розклавши його за елементами першого рядка:

1 ( −1)2(0 − 24)+ 2 ( −1)3(0 − 20)− 3 ( −1)4 (18+ 5 ) = −24 + 40 − 69 = −53.

Зауваження. Даний визначник простіше було б обчислювати, розклавши його за елементами третього рядка (або третього стовпця), оскільки один із доданків не потрібно обчислювати (елемент

a33 = 0 ).

= −69 + 16 = −53.

Наслідок 1 (Теорема заміщення).

Нехай Ai1 , Ai 2 ,..., Ain - алгебраїчні доповнення елементів i -го

Тоді сума добутків алгебраїчних доповнень елементів і-го

рядка на довільні числа b1, b2,…, bn дорівнює такому визначнику n − го порядку ′ , в якого елементами i -го рядка є числа b1, b2,…, bn, а інші - співпадають з відповідними елементами визначника .

16

Доведення. За теоремою маємо, що

співпадають з відповідними елементами визначника .

Наслідок 2 (Теорема анулювання).

Сума добутків елементів довільного рядка (або стовпця) на алгебраїчні доповнення паралельного іншого рядка (або стовпця) дорівнює нулю.

17

Одержаний визначник має два однакові рядки, а тому дорівнює нулю.

Приклад 10. Користуючись властивостями визначників, об-

Розв’язування. Додамо елементи першого і другого стовпців, а від елементів третього стовпця віднімемо подвоєні елементи першого. Одержимо:

Розв’язування. Винесемо за знак визначника спільний множник “8” першого стовпця і спільний множник “7” другого рядка

Віднімемо від елементів першого рядка подвоєні відповідні елементи другого рядка. До елементів третього рядка додамо відповідні елементи другого рядка, помножені на число “-5”

Такий визначник легко обчислити, розклавши його за елементами першого стовпця:

§ 3. Обчислення визначників довільного порядку

Визначником n -го порядку називається число, яке дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка або стовпця, на відповідні алгебраїчні доповнення.

18

При цьому мають місце формули розкладу визначника за елементами його довільного рядка (або стовпця) (1.1).

Означення визначника n -го порядку взято за метод його обчислення.

Приклад 1. Обчислити визначник 4-го порядку:

Розв’язування.Розкладемо визначник за елементами другого рядка:

Кожен із цих визначників обчислимо, ще раз використавши формулу Лапласа. Перший та третій визначники розкладемо за елементами другого рядка:

+ 0 ( −1 )2 + 3 2 3 = ( −1 ) ( −1 )3 ( −15 − 0 ) − 1 ( −1 )4 ( −10 − 8 ) +

20

+0 = −15 + 18 = 3;

+ 0 = −3( −18 ) − 1( −9 ) = 63.

Четвертий визначник розкладемо за елементами третього рядка:

19

+ 0 = 1 − 2 ( −10 ) = 21.

Отже,

= 1 ( −1 )3 3 + 1 ( −1 )5 63 + 2 ( −1 )6 21 = −3 − 63 + 42 = −24.

Як бачимо, обчислення визначника 4-го порядку зводиться до обчислення чотирьох визначників 3-го порядку, а обчислення визначника 5-го порядку - до обчислення п’яти визначників 4-го порядку або двадцяти визначників 3-го порядку. Тому доцільно спочатку перетворити визначник так, щоб в одному з рядків (або стовпців) всі елементи, крім одного, стали нульовими. Цього можна досягти, використавши властивості визначників.

Таким чином, обчислення визначника n − го порядку зводиться до обчислення лише одного визначника ( n − 1 )-го порядку.

Приклад 2. Обчислити визначник, використавши його влас-

Розв’язування. Від елементів третього стовпця віднімемо відповідні елементи першого стовпця, а до елементів четвертого стовпця додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені на “-2”.

Одержаний визначник 3-го порядку можна обчислити, наприклад, за правилом Саррюса, або звести до визначника 2-го порядку, віднявши від елементів другого і третього стовпців відповідні елементи першого стовпця

− ( −3 ) ( −5 )) = −2 12 = −24.

Одержали значно легшим шляхом той же результат визначника.

20