VM_pidr

x1,x2,… і навпаки, якщо задано послідовність її першими членами, то можна завжди записати її загальний член. Наприклад, нехай

1) xn = 1 , n N . n

Як вже зазначалося вище, для задання послідовності необхідно знати правило, за яким кожному значенню n ставиться у відповідність дійсне число xn=f(n). Таке правило може бути задане за допомогою формули, як це зроблено у наведених вище прикладах. Проте є інші способи задання послідовностей. Наприклад, візьмемо за (xn) n -ну цифру розкладу числа π у нескінчений десятковий дріб. Матимемо послідов-

ність 3,1,4,1,…

Тут правило відповідності задано словесно.

Іноді при заданні послідовності задається її перший член і правило утворення n-го члена за допомогою попередніх членів. Такий спосіб називається рекурентним. Наприклад, нехай перший член послідовності дорівнює 2, а кожний наступний дорівнює попередньому, помноже-

ному на 10. Тоді xn+1=10xn , x1=2,n N .

Серед числових послідовностей в окремий клас виділяють так звані монотонні послідовності, що об’єднують в собі зростаючі, спадні, неспадні, незростаючі послідовності.

Означення 2. Послідовність (xn) називається зростаючою, якщо кожний її наступний член більший від попереднього, тобто xn+1 > xn для кожного n .

Наприклад, послідовність, 1,22 ,32 ,...,n2 ,... є зростаюча.

Означення 3. Послідовність (xn) називається неспадною, якщо xn+1 ≥ xn для кожного n .

Наприклад, послідовність 1,1,1,2,2,... є неспадна.

Означення 4. Послідовність (xn) називається спадною, якщо xn+1 < xn для кожного n .

Наприклад, послідовність 1, 1 , 1 ,..., 1 ,... є спадна.

2 3 n

181

Означення 5. Послідовність ( xn ) називається незростаючою, якщо xn+1 ≤ xn для кожного n .

Для дальшого вивчення числових послідовностей необхідно ввести в розгляд такі арифметичні операції над числовими послідовностями: додавання, віднімання, множення та ділення.

Нехай маємо дві послідовності

x1 , x2 ,..., xn ,...

y1` , y2 ,..., yn ,...

Тоді додавання, віднімання та множення двох послідовностей виконуються додаванням, відніманням та множенням відповідних членів цих послідовностей.

Якщо всі yn ≠ 0, n N , то частка від ділення послідовності ( xn ) на послідовність ( yn ) визначається як послідовність

z1` ,z2 ,...,zn ,...члени якої zn = xn , n N . yn

Символічно ці дії позначаються так:

( xn ) ± ( yn ) = (xn ± yn ); ( xn ) ( yn ) = (xn yn );

( xn ) = ( xn ).

( yn ) yn

Означення 6. Числова послідовність( xn ) називається обмеженою, якщо існують дійсні числа m і M такі, що для всіх

n N виконуються нерівності m ≤ xn ≤ M .

У протилежному випадку послідовність називається необмеженою.

Часто користуються еквівалентним означенням обмеженості послідовності.

Означення 7. Числова послідовність ( xn ) називається

обмеженою, якщо існує дійсне число С таке, що для всіх n N виконується нерівність |xn|≤C.

Частинними випадками послідовності є арифметична та геометрична прогресія.

Означення 8. Арифметична прогресія - це числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого , дорівнює поперед-

182

ньому, збільшеному на число d, яке називається різницею прогре-

сії. an+ 1 = an + d , n N .

Ці поняття і формули застосовуються при нарахуванні простих відсотків.

Так, якщо сума капіталу P вкладена під R відсотків річних,то після першого року буде одержано прибуток величиною

d = P R .

100%

Якщо вкладення капіталу здійснюється під простий річний відсоток, то прибуток зростає на однакову величину з кожним роком: P, P+d, P+2d,…,. Ці значення утворюють арифметичну прогресію. Отже, величина капіталу P, що вкладений під простий річний відсоток R , через n років буде

Часто R = i - називають питомою відсотковою ставкою (або нор-

100

мою відсотка). Отже, Pn = an = P( 1 + ni ) .

Означення 9. Геометричною прогресією називається послідовність, кожний наступний член якої дорівнює попередньому, помноженому на одне і те саме число q , яке називається зна-

менником геометричної прогресії.

Якщо q < 1 - прогресія спадна, q >1 – прогресія зростаюча.

За означенням bn+ 1 = bnq або bn = b1qn− 1 .

183

Сума n членів скінченої геометричної прогресії знаходиться

Припустимо, що вкладник дає банку 50000 грн. з умовою щорічного зростання на 25% складних відсотків , тобто щороку величина капіталу, що знаходиться на рахунку вкладника в банку по-

Зрозуміло,що після т -го року матимемо 50000( 1 + 1 )т , то-

4

му величина капіталу P, що зростає щороку на R складних відсотків, через n – років прийме значення: Pn = P( 1 + 0,01R )n .

Найпростішим типовим рахунком накопичення є такий рахунок фізичної або юридичної особи, на який регулярно нараховується відсоткова ставка і зараховується новий вклад.

Задача. Кожного місяця працівник (студент) вносить 100 гривень на свій рахунок накопичення з одержанням прибутку величиною 2% щомісячно. Обчислимо величину його накопичень:

а) після здійснення 24 внеску; б) після здійснення n внеску.

Кожний внесок за місяць зростає в 1,02. Тому перший внесок за 23 місяці перебування на рахунку прийме значення 100(1,02) 23 .

Другий внесок знаходився на рахунку 23 місяці (100(1,02) 22 ) і т.д. Загальна сума накопиченого рахунку студента прийме зна-

184

5000(( 1,02 )24 − 1 ) = 100 30,421852 = 3042,1852.

S= P Sni - формула накопичення.

◙Розрахунки ренти

Багато людей в країнах з ринковою економікою живуть за рахунок ренти, тобто регулярно на протязі певного терміну одержують обумовлену суму коштів з відповідного рахунку в банку або страховій компанії. Скільки треба поставити на рахунок ренти, щоб одержувати відповідні кошти?

Нехай А – величина внеску на рентний рахунок. З цього рахунку здійснюються виплати Р щорічно на протязі n років і величина внеску щорічно зростає на R відсотків.

A1 - кошти, які вкладені на рахунок ренти і дадуть через один рік виплату Р.

Це сума n –членів геометричної прогресії:

◙Погашення боргу

Процес повернення боргу регулярно, певними частинами, в певний термін і протягом домовленого часу з виплатою певного відсотку називається погашенням боргу.

З математичної точки зору погашення боргу – це задача про ренту.

Страхова компанія взяла в борг суму А і виплачує

185

Задача. На час навчання студент академії народного господарства отримав з фонду навчання в борг 17000 грн. Цей кредит йому надано із 8% щорічного зростання і умовою повернення (щорічно) в кінці кожного року після закінчення академії протягом 15 років. Скільки коштів повинен повертати студент кожного року?

a15 8,559479

0,08

3.2.Границя числової послідовності

Розглянемо такі числові послідовності:

Аналізуючи наведені приклади, можна стверджувати, що змінна xn при зростанні n ( n → ∞ - “ен” прямує до нескінченості ) в прикладі 1)наближається до нуля ( залишаючись більшою від нуля);

вприкладі 2) змінна зростає, наближаючись до одиниці (залишаючись меншою за одиницю); в прикладі 3) відбувається процес наближення змінної до нуля, але її значення коливається в околі нуля;

вприкладі 4) не можна визначити до якого числа наближається

змінна xn = ( −1 )n− 1 , n N . Оскільки в прикладах 1)–3) є те, що змінна xn при зростанні n наближається до сталої величини, то в таких випадках говорять, що змінна xn має границю при n → ∞ .

Означення. Число а називається границею числової послідовності ( xn ), якщо для будь-якого наперед заданого як завгодно

186

малого додатного числа ε > 0 існує такий номер N , починаючи

з якого виконується нерівність

Ми будемо користуватися першим позначенням ( lim - від латинського слова lim es , що означає “границя”).

Отже, в розглянутих нами прикладах 1)–3) границі вказаних послідовностей відповідно дорівнюють

1) а = 0; 2) а = 1; 3) а = 0 , а для прикладу 4) відповідь така:

границя не існує.

Враховуючи нерівність (3.5), стверджуємо, якщо послідовність ( xn ) має границею число а , то , починаючи з деякого номера

N всі її члени знаходяться в околі ( a − ε ,a + ε ) точки а . Примітка. Якщо xn = С , С = сonst ( С - стала величина), то

зрозуміло , що xn − C = С − С = 0 < ε для всіх n = 1,2,3,... Тому

справедливе таке твердження: Границя сталої величини дорівнює

цій сталій величині, тобто, lim C = C .

n→ ∞

Послідовність, яка має скінчену границю, називається збіжною, у протилежному випадку - розбіжною.

3.3. Основні теореми про границі числових послідовностей ТЕОРЕМА 1. Послідовність може мати тільки одну грани-

цю.

a≠b.

Виберемо ε = 1 a − b . Згідно з означенням границі послідов-

3

ності виконуються нерівності

187

xn − b < 1 a − b для n > N2 .

3

Візьмемо тепер натуральне число N , більше за N1 і N2 . Отже, для n>N одночасно будуть виконуватися обидві вище

написані нерівності, на основі яких одержуємо

a − b = ( a − xn ) + ( xn − b ) ≤ a − xn + xn − b = xn − a +

+ xn − b < 2 a − b .

3

Звідси знаходимо, що a − b < 2 a − b , а це неможливо, якщо

3

a ≠ b. Таким чином, наше припущення, що послідовність може мати різні границі, привело до протиріччя. Збіжна послідовність може мати тільки одну границю. Теорема 1 доведена.

ТЕОРЕМА 2. Нехай послідовності (xn) і (yn) мають відпо– відно границі a і b Тоді сума (xn+yn) (різниця (xn-- yn)) має границю, яка дорівнює a + b ( a − b ) , тобто

ТЕОРЕМА 3. Нехай послідовності ( xn ) і ( yn ) мають відповідно границі a і b. Тоді і їх добуток ( xn yn ) має границю, яка дорівнює a b , тобто

Зтеореми 3 випливають такі наслідки .

1.Сталий множник можна винести за знак границі.

причому b ≠ 0. Тоді і їх відношення

188

( xn ) має скінчену границю, яка дорівнює a , тобто

Доведення. Оскільки число a є границею послідовності ( xn ) , то згідно означення границі послідовності для будь-якого ε > 0 іс-

ву теореми 6 та попередні нерівності, дістанемо a − ε < yn < a + ε при n≥N, що рівносильно yn − a < ε при n≥N.

Остання нерівність й доводить теорему 6.

Означення. Нехай (xn) задана послідовність і (nk) - довільна зростаюча послідовність натуральних чисел, то послідовність ( xnk ) називається підпослідовністю послідовності (xn).

З означення границі послідовності випливає правильність твердження.

ТЕОРЕМА 7. Якщо послідовність ( xn ) має границю a , то й будь-яка її послідовність має ту саму границю a .

Справді, якщо число a є границею послідовності ( xn ) , то для будь-якого числа ε > 0 в ε - окіл ( a − ε ,a + ε ) точки a потрапляють всі члени цієї послідовності, починаючи з деякого номера N . Проте, тоді в цей окіл потрапляють і всі члени послідовності ( xnk )

як тільки nk > N . А це означає, що число a є границею

189

Примітка 1. Враховуючи (3.8) і (3.9), маємо таке твердження: сталий множник виноситься за знак границі, тобто

З другої сторони будемо вважати , якщо у граничному

переході вигляду (3.10) одержується дія ( a ) , a ≠ 0 , то

0

результатом такого граничного переходу є відповідь нескінченість. Наприклад,

будемо називати невизначеними.

3.4. Деякі правила розкриття невизначеностей ( ∞∞ )

Наприклад, нехай потрібно знайти границі :

Розділивши чисельник і знаменник на найвищий степінь n у даних прикладах, одержуємо:

190