VM_pidr

Звідси видно, що при необмеженому збільшенні абсциси x різниця Y-y необмежено зменшується . Таким чином, точка гіперболи необмежено віддаляючись по вітці гіперболи, необмежено наближається

до асимптоти Y = b x , але ніколи її не досягає. Значить, гіпербола a

(2.135) має дві асимптоти Y = b x і Y = − b x , які співпадають з діа- a a

гоналями прямокутника і проходять через початок координат.

161

19.5. Парабола та її рівняння

Означення 7. Параболою називається множина точок площини, однаково віддалених від заданої точки, що називається фокусом і від заданої прямої, що називається директрисою.

Виходячи з означення 7, виведемо рівняння параболи. Нехай пряма AB є директрисою параболи, а точка F є її фокусом (мал.61). Проведемо через точку F пряму перпендикулярну до директриси AB і візьмемо цю пряму за вісь абсцис, а за вісь ординат вієьмемо пряму перпендикулярну до вісі абсцис і яка проходить через точку

Це і буде рівняння параболи відносно вибраної системи координат. Підносячи обидві частини даного рівняння до квадрату, і спростивши, одержимо

Рівняння (2.142) і є канонічним рівнянням параболи. Як видно з рівняння (2.142) парабола є лінія другого порядку і всі її точки розташовані праворуч від осі 0 y . Парабола проходить через початок

координат. Розв’язавши рівняння (2.142) відносно y, одержимо

162

Із (2.143) видно, що кожному значенню x відповідає два значення y , які рівні за абсолютною величиною, але протилежні за

знаком.

Значить вісь 0 x є віссю симетрії для параболи. Точку O( 0,0 ) називають вершиною параболи.

Якщо x необмежено зростає, то і y необмежено зростає. Величина р називається параметром параболи і при збільшенні р парабола розширюється, тобто її точки будуть віддалятися від осі Ох.

ліворуч від початку координат.

Якщо директриса параболи паралельна вісі абсцис , а фокус знаходиться на вісі ординат, то рівняння параболи має вигляд

Парабола (2.144) зображена на мал.63. Це парабола симетрична відносно осі Oy і розміщена над віссю абсцис, якщо в

урівнянні взяти знак (+) і під віссю абсцис, якщо взяти знак (-).

Якщо в рівнянні (2.144) позна-

Приклад 5. Ферми, які підтримують залізнодорожний міст довжиною 112 м, мають вигляд параболи, яка задається рівнянням

y = ax2 . Знайти рівняння відповідної параболи, якщо найбільша

висота мостової арки складає 44м.

Розв’язування. Візьмемо за початок координат вершину ферми. Тоді симетричні точки в основі ферми будуть мати координати (-56,-44) і (56,-44). Підставляючи будь-яку пару координат в рівнян-

163

Таким чином, мостова ферма має вигляд параболи

y = − 11 x2 .

784

§20. Перетворення прямокутних координат

кривих .

Тепер розглянемо перехід від однієї прямокутної системи координат до такої ж шляхом паралельного зсуву осей, коли змінюється початок координат, а напрям осей залишається той же.

20.1. Перенесення початку координат

Нехай точка M площини має координати (x,y) в прямокутній системі координат Oxy. Перенесемо початок координат в точку 01 ( a ,b ), де a і b є координатами точки 01 в старій системі коор-

динат 0 xy. Осі 01 x1 та 01 y1 нової системи координат залишаються паралельними осям 0 x і 0 y старої системи координат ( не зміню-

ється напрям осей( мал.64).

Позначимо координати точки M в новій системі координат через ( x1 ; y1 ). Виведемо формули, які показують зв’язок між ста-

рими і новими координатами точки M . Для цього опустимо перпендикуляри MM1 на вісь 0 x , MM2 на вісь 0 y , а також перпенди-

куляри MN1 на 01 x1 , MN2 на вісь 01 y1 . Для відрізків 0 A, 0M1

справедлива рівність 0 A + AM1 = 0M1 . Оскільки OA=a, OM1=x,

164

і вказують на зв’язок між старими і новими координатами точки при паралельному перенесенні початку координат.

AM2 = 0M2 sin α = x1 sin α , BM = MM2 cos α = y1 cos α ,

BM2 = MM2 sin α = y1 sinα .

Підставимо знайдені значення 0 A, AM2 ,BM ,BM2 в рівності

(2.146), і одержимо формули переходу від старих координат до нових при повороті осей на кут α :

165

старі координати x, y можна із системи (2.147) двох рівнянь з двома невідомими знайти x1 та y1 .

Оскільки, формули для нових координат можна одержати по другому: так як нова система координат одержалася із старої системи поворотом на кут α , то стара система одержиться поворотом осей на кут (- α ). Значить в рівняннях (2.147) можна поміняти місцями старі і нові координати, замінивши однозначно α на (- α ), то одержимо

Приклад 1. Який вигляд буде мати крива x2 + 2 x − y2 − 4 y − 7 = 0, якщо за нові осі координат взяти прямі, які проходять через точку 01 ( −1,−2 ) і паралельні старим осям координат.

( x1 − 1 )2 + 2( x1 − 1 ) − ( y1 − 2 )2 − 4( y1 − 2 ) − 7 = 0. Після спрощення

асимптоти гіперболи за нові осі координат, оскільки вони взаємоперпендикулярні, бо добуток їх кутових коефіцієнтів дорівнює (-1).

Замінимо x та y за формулами (2.147) , де α = −450 , маємо

166

Це є гіпербола, яку вивчають у шкільному курсі математики, і яка задає обернено пропорційну залежність.

§21. Полярна система координат

МНайбільш важливою після пря-

ρмокутної системи координат є полярна система координат. До цього положен-

можна однозначно визначити за допомогою полярної системи координат. Вона складається із деякої точки 0 , яка називається полюсом і променя 0P , який виходить із цієї точки, який називається полярною віссю (мал. 66). Крім цього задається одиниця масштабу.

Нехай точка М довільна точка площини, а ρ віддаль цієї точки від точки 0 , а ϕ це кут, на який потрібно повернути полярну вісь

для суміщення з променем 0M .

Полярними координатами точки M називаються числа ρ і ϕ . Число ρ вважається першою координатою і називається полярним радіусом, а число ϕ - другою координатою і називається полярним кутом. Точка M з полярними координатами позначається так

M ( ρ ,ϕ ).

Полярний радіус може змінюватися в межах: 0 ≤ ρ < +∞ , а полярний кут в межах: 0 ≤ ϕ < 2π; при цьому відлік полярного кута проводиться від полярної осі проти годинникової стрілки.

167

Між координатами точки у полярній системі координат та її координати в декартовій системі існує простий зв’язок.

Візьмемо вісь 0 x декартової системи координат за полярну вісї полярної системи, а початок декартової системи приймемо за

ρдинати x та y і полярні координати ρ

Формули (2.149) виражають прямокутні координати через по-

лярні.

Якщо піднести до квадрату обидві частини рівностей (2.149) і

визначають полярні координати через декартові. При визначенні полярного кута слід враховувати знаки x та y, користуючись фор-

мулами (2.149).

Приклад 1. Дано прямокутні координати точки (1;1). Знайти її полярні координати, вважаючи, що полюс суміщений з початком додатної півосі абсцис.

Розв’язування. За формулами (2.150) маємо ρ = 2 , tgϕ = 1.

Згідно другої рівності ϕ = π , так sin x = 1 > 0 і y = 1 > 0.

4

Розглянемо деякі криві в полярній системі координат. 1) Спіраль Архімеда.

Ця крива визначається рівнянням r = aϕ

168

х

169

Розділ 3. ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

§1. Множини дійсних чисел

1.1.Сталі і змінні величини

Коли ми вивчаємо деякі питання з області математики, фізики, механіки, економіки і т.д., то зустрічаємося з величинами, які зберігають стале числове значення і називаються сталими, а інші можуть приймати різні числові значення і називаються змінними.

Наприклад, до сталих величин можна віднести число π , яке рівне відношенню довжини кола до діаметра.

До змінних величин можна віднести температуру зовнішнього середовища, яка протягом дня змінюється; загальну суму грошей, яку отримує магазин від продажу продукції протягом дня і т.д.

1.2. Множини дійсних чисел

У курсі вищої математики найбільший інтерес становлять числові множини, тобто множини, елементами (величинами) яких є числа. Серед числових множин будемо розглядати такі:

1)Множина всіх натуральних чисел N = {1,2,3,...,n,... };

2)Множина всіх цілих чисел Z = {0,±1,±2,...,±n,...};

ірраціональних чисел. Ірраціональними числами називаються нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Наприклад, 2 , lg 3,

sin 20 і т.д.

Зауважимо, що пряма лінія, на якій вказані початок відліку, масштаб і напрямок, називається числовою віссю.

Між множиною точок числової осі і множиною всіх дійсних чисел існує взаємно однозначна відповідність. Це означає, що кожна точка числової осі відображає одне дійсне число, і навпаки, кожне число являється координатою конкретної однієї точки числової осі.

170