VM_pidr

визначає площину , яка паралельна вісі 0 x і вісі 0 y , тобто площина паралельна координатній площині 0 xy . Ця площина відтинає на осі

0z відрізок z = − D .

C

9) Аналогічно, коли A = C = 0 ,B ≠ 0 , D ≠ 0 , то рівняння By + D = 0 визначає площину , яка паралельна координатній пло-

щині 0 xz і відтинає на вісі 0 y відрізок y = − D .

B

10) Коли B = C = 0 , A ≠ 0 , D ≠ 0 , то рівняння Ax + D = 0 визначає площину, яка паралельна координатній площині 0 yz і відти-

нає на вісі 0 x відрізок x = − D .

A

11) Якщо B = C = D = 0, A ≠ 0, то рівняння Ax = 0 рівно-

сильне x = 0 , а це і є рівняння координатної площини 0 yz .

12) Аналогічно, коли A = 0 ,C = 0 , D = 0 ,B ≠ 0 , то рівняння By = 0, ( y = 0 ) представляє відповідно координатну площину 0zx.

13) Якщо A = B = D = 0 ,C ≠ 0 , то рівняння C = 0 (або z = 0 ) є відповідно рівнянням координатної площини Oxy.

17.2. Рівняння площини у відрізках

Нехай в рівнянні (2.72) кожний із коефіцієнтів A,B,C , D не

дорівнює нулю, тобто площина перетинає всі осі координат і не проходить через початок координат. Перетворимо рівняння (2.72) таким чином:

Ax + By + Cz = − D,

141

Рівняння (2.73) називають рівнянням площини у відрізках, де числа a ,b,c є величини відрізків, які відтинає площина на осях ко-

ординат.

17.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.

Нехай задано дві площини

Якщо ці площини перетинаються, то кутом між ними назвемо будь-який суміжний двогранний кут. Один із них дорівнює куту ϕ

ϕ1 = 1800 − ϕ .

Значить, шуканий кут φ можна знайти за формулою (2.21) §11

Умова (2.77) одержується із умови перпендикулярності векто-

→→

рів n1 і n2 . Рівність (2.77) називається умовою перпендикулярності двох площин.

Якщо площини (2.74) і (2.75) паралельні, то нормалі цих пло-

142

Умова (2.78) виражає умову паралельності двох площин. Приклад 1. Записати рівняння площини, що проходить через

точки M1 ( 8;−3;1 ) і M2 ( 4;7 ;2 ) і перпендикулярна до площини

3 x + 5 y − 72 + 21 = 0 .

Розв’язування. Тому що площина проходить через точку М1 ( 8;−3;1 ) , то її координати задовольняють рівняння (2.71), тобто

Використаємо умову перпендикулярності (2.77) для площини (2.79) і заданої площини 3x+5y-7z+21=0, тобто 3A+5B-7C=0. Для знаходження А,В,С маємо систему двох рівнянь з трьома невідомими, а саме

− 4 A + 10B + C = 0 ,

+ − =

3A 5B 7C 0.

З даної системи знаходимо A і B через C , тобто A = 3 C ,

2

B = 1 C і підставляємо одержані значення в рівняння (2.79):

2

3 C( x − 8 ) + 1 ( y + 3 ) + C( z − 1 ) = 0.

2 2

Зробивши спрощення в останньому рівнянні , одержуємо шукане рівняння площини 3x+y+2z-23=0.

17.4. Нормальне рівняння площини

Положення площини π в просторі можна визначити через нор-

→ →

мальний вектор n = OA , початок якого співпадає з початком координат, а кінець знаходиться на площині π. Нехай довжина цього ве-

→

ктора дорівнює p , тобто p = ОА , а кути нахилу цього вектора з осями координат є α,β,γ (мал.45). Значить р є віддаль площини до

143

→

початку координат. Якщо через n0 позначимо одиничний вектор

Рівняння (2.81) називається нормальним рівнянням площини у векторній формі. Розпишемо рівняння (2.81) у координатній формі,

Щоб загальне рівняння площини привести до нормального вигляду, потрібно загальне рівняння площини помножити на сталий множник μ . Одержимо μAx + μBy + μCz + μD = 0 , де μA = cos α ,

μB = cosβ , μC = cos γ , μD = − p .

Піднісши перші три рівності до квадрату і додавши їх, враховуючи (2.83), одержимо

144

В формулі (2.84) необхідно брати знак протилежний знаку вільного члена в загальному рівнянні площини, так як μD = − p , де

p - завжди додатне як віддаль.

Отже, щоб рівняння (2.72) привести до нормального вигляду , треба помножити його на нормувальний множник (2.84).

17.5. Віддаль від точки до площини

чатку координат. Шукана віддаль дорівнює AB = p1 − p . Тому що точка M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) знаходиться на площині π1 , то

§18. Пряма в просторі

В просторі, так як і на площині, одну і ту ж пряму можна задати різними по формі рівняннями.

145

18.1. Загальне рівняння прямої

Пряму l в просторі можна розглядати як лінію перетину двох площин π1 і π2 (мал.47). Тому загальним рівнянням прямої l є система двох рівнянь першого степеня , а саме

18.2. Канонічне рівняння прямої

Положення прямої лінії в просторі визначається однозначно, якщо відома точка M0(x0 y0 z0,) ,через яку вона проходить , і відомо

→

напрямний вектор s ( m;n; p ), якому пряма l паралельна (мал.48).

→

Візьмемо на прямій l довільну точку M ( x; y; z ) і позначимо OM

146

Рівняння (2.90) називається векторним рівнянням прямої в просторі. Розпишемо рівняння (2.90) в координатній формі

Рівняння (2.91) називаються параметричними рівняннями прямої. Якщо параметр t змінюється, то точка M ( x; y; z ) рухаєть-

Рівняння (2.92) називаються канонічними рівняннями прямої

→

в просторі, а координати m ,n і p вектора s - направляючими кое-

фіцієнтами прямої.

В канонічних рівняннях (2.92) величини m ,n і p не можуть

→

одночасно перетворюватися в нуль, так як s ≠ 0 , але деякі із них

можуть дорівнювати нулю.

Нехай, наприклад, m = 0 , то із рівнянь (2.91) одержимо таку систему

Кожне із цих двох рівнянь визначає площину, а система рівнянь (2.92) визначає пряму. В цьому випадку рівняння (2.92) можна записати умовно так:

Система рівнянь (2.93) або (2.94) визначає пряму, яка перпендикулярна до вісі 0 x , так як m = 0 . Якщо які-небудь два направляючих коефіцієнти рівні нулю, наприклад, m=0,n=0, p≠0, то із рівняння (2.91) одержимо, що

147

Кожне із цих рівнянь представляє площину. Перша площина паралельна вісі 0 y , так як в рівнянні відсутня координата y , а дру-

га паралельна осі 0 x .

Таким чином, пряму можна розглядати як перетин двох площин, тобто канонічні рівняння прямої (2.92) записали у загальному вигляді прямої (2.97).

18.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки

Нехай пряма проходить через дві задані точки M1 ( x1 , y1 ,z1 ) і M2 ( x2 , y2 ,z2 ). В цьому випадку за направляючий вектор прямої

Рівняння (2.98) є рівнянням прямої в просторі , що проходить через дві задані точки.

Загальне рівняння прямої можна привести до канонічних рівнянь (2.92). Для цього в системі (2.87), наприклад, z надаємо значення z0 і система (2.87) буде системою двох рівнянь з двома неві-

домими x і y, які із неї знаходимо, тобто x=x0 і x=x0. Таким чином, одержали координати ( x0 , y0 ,z0 ) однієї точки M0 в просторі. Ана-

логічно, із системи (2.87) надаючи z = z1 , знаходимо

148

x = x1 , y = y1 , тобто координати ( x1 , y1 ,z1 ) другої точки M1 .

Тепер можна записати рівняння прямої, що проходить через дві точки в просторі на основі (2.98) і одержимо рівняння (2.92).

18.4. Кут між двома прямими

Нехай задано дві прямі l1 і l2 :

m12 + n12 + p12 m22 + n22 + p22

Очевидно, що 0 ≤ ϕ ≤ 1800 .

Якщо прямі (2.99) і (2.100) паралельні, то їх направляючі век-

→→

тори s1 і s2 колінеарні, то ми одержуємо умову паралельності прямих l1 і l2 у вигляді

Умова (2.102) є умовою паралельності прямих l1 і l2 . Якщо прямі l1 і l2 взаємно-перпендикулярні , то направляючі вектори

s1 ( m1 ,n1 , p1 ) і s2 ( m2 ,n2 ,p2 ) також перпендикулярні , тобто їх

→ →

скалярний добуток s1 s2 = 0 . Звідси

149

Умова (2.103) є умовою перпендикулярності двох прямих l1 і l2 у просторі.

Пряма l паралельна до площини π тоді і тільки тоді, коли її

→

направляючий вектор s ( m ,n, p )перпендикулярний до нормального

→

вектора n( A,B,C ) площини. Тоді їх скалярний добуток дорівнює

Умова (2.106) є умовою паралельності прямої і площини. Якщо пряма l перпендикулярна до площини π , то направля-

→

ючий вектор прямої s ( m ,n, p ) і нормальний вектор площини

→

n( A,B,C ) паралельні, тобто

Умова (2.107) є умовою перпендикулярності прямої і площини. Кутом між прямою l і площи-

150