Mech-Slobod
.pdf21
визначається нашими органами почуттів відносно деяких тіл”. Таким чином, геніальний Ньютон в означеннях абсолютного простору і абсолютного часу послідовно відокремлюючи поняття простору і часу від матеріального світу, а потім і одне від одного, віддав належне сучасній йому геометрії й математиці в цілому, які оперують нематеріальними об’єктами, а в означенні відносного простору спирався на практичний досвід спостереження механічного руху відносно матеріальних тіл..
Надзвичайно точно про зв’язок між поняттям руху та простору висловився творець однієї з неевклідових геометрій М. І. Лобачевський: “У природі ми спізнаємо власне лише рух, без якого почуттєве враження неможливе. Всі інші поняття, наприклад, геометричні, утворені нашим розумом штучно, вони взяті у властивостях рухів, а тому простір сам по собі окремо для нас не існує”.
Відрив понять простору та часу одне від одного як наслідок їх відриву від поняття руху,
характерний для основної маси науковців та філософів 19-го сторіччя, фізика подолала лише з розвитком і визнанням положень теорії відносності. З точки зору сучасної фізики саме матерія визначає просторово-часові співвідношення у Всесвіті.
1.2.3. Системи відліку
Механічний рух тіла можна розглядати як послідовну зміну його положень відносно інших тіл. При описі механічного руху шляхом визначення положення тіла в кожний момент часу широко використовують поняття системи відліку.
Система відліку — це сукупність матеріальних точок, нерухомих одна відносно
одної, відносно яких розглядається механічний рух, та годинників, що відлічують час.
Ми раніше (див. 1.2.2) з’ясували, що для однозначного визначення положення деякої частинки необхідно мінімум три тіла (матеріальні точки) відліку, що не лежать на одній прямій.
А скільки потрібно годинників? Взагалі кажучи нескінченно багато: годинники мають бути розміщені в кожній точці простору, але всі вони повинні йти узгоджено, або, як кажуть синхронно. Узгодження або синхронізація ходу годинників може бути виконана за допомогою деяких сигналів, наприклад, світлових або радіосигналів. Процедура синхронізації докладно обговорюється в §9.1.
Необхідно підкреслити, що поняття системи відліку є одним із базових понять фізики взагалі, а не лише механіки, в рамках якої воно звичайно вводиться.
22
Чудовою ілюстрацією до вищевикладеного означення системи відліку є так звана глобальна система позиціонування, більше відома як GPS (Global Positioning System), призначена для визначення місцезнаходження об’єктів поблизу земної поверхні. Робота системи GPS ґрунтується на одночасному вимірюванні відстаней від об’єкта до мінімум 4-х із 24 спеціальних супутників Землі, що правлять за тіла відліку, необхідних для однозначного визначення положення об’єкта, причому всі супутники обладнані точними годинниками, що синхронізовані між собою. Ці відстані li обчислюють за часом розповсюдження радіосигналу від кожного із супутників до GPS-приймача, встановленого на об’єкті,
місцезнаходження якого підлягає визначенню, за формулою li = cτ i , де c −швидкість поширення радіосигналу, τ i − час поширення сигналу від i -того супутника до об’єкта, який, в свою чергу,
обчислюється як різниця моментів прийому tпр і передачі tïåð сигналу, визначених відповідно, за годинником на супутнику і за годинником GPS-приймача, τ = tïð − tïåð . Годинники, встановлені на супутниках, використовують атомні стандарти частоти і визначають час із похибкою меншою за 10-9 с,
що відповідає відстані 0,3 м. Положення супутників відносно опорних точок на поверхні Землі3, а, отже, і
їх взаємне розташування відомі з необхідною точністю у кожний момент часу, оскільки безперервно контролюється. Із викладеного раніше зрозуміло, що для визначення положення об’єкта поблизу поверхні Землі досить знати відстань до будь-яких 3-х супутників, оскільки одна з двох точок простору,
для яких сукупності трьох відстаней l1 , l2 , l3 , однакові (точки A та A′ на Рис. 1.1), може бути
відкинута як така, що лежить не поблизу земної поверхні, а десь далеко в космосі вище орбіт супутників.
Необхідність прийому сигналу з четвертого супутника пов’язана не з принциповими геометричними міркуваннями, а з тим, що точність ходу годинників у переносних GPS-приймачах розміром з мобільний телефон як з технічних так і з економічних причин становить лише величину порядку 0,01, яка могла б призвести до похибки у визначенні відстані порядку 3000 км! Виявляється, що для нормальної роботи системи GPS достатньо використати і обробити одночасно сигнали від 4-х супутників і за допомогою простих тригонометричних обчислень виключити похибку годинника приймача (відмінність часу, що він показує, від системного часу супутникових годинників). У результаті точність визначення положення приймача на відкритій місцевості за сприятливих атмосферних умов сягає декількох метрів. Серед причин, що суттєво впливають на точність системи GPS, є відмінність швидкості поширення радіосигналу в іоносфері та атмосфері Землі від швидкості у вакуумі, додаткові відбиття сигналу від
3Ці опорні точки необхідні для прив’язки положення супутників до опорних пунктів геодезичної мережі на поверхні Землі, до яких прив’язана система координат, що визначає положення тіл біля поверхні Землі. Найчастіше це система координат з початком у центрі Землі, в якій положення тіла визначається географічною широтою і географічною довготою та так званою висотою над рівнем моря. На географічних картах часто зображають, відповідно, координатну сітку паралелей і меридіанів та так звані лінії однакових (рівних) висот або глибин.
23
місцевих предметів (особливо в умовах міста), накопичення похибок визначення параметрів орбіти
супутників, ходу годинників тощо.
24
Таблиця 1.1
Основні одиниці механічних величин
Величина |
Одиниця |
Довжина |
метр |
|
(м) |
Час |
секунда |
|
(с) |
Маса |
кілограм |
|
(кг) |
Рік |
|
Еталон |
встановлення |
|
|
|
|
|
еталону |
|
|
1791 |
1 |
м = 2,5•10-8 Паризького меридіану |
1872 |
1 |
м = відстань між штрихами на |
|
платино-іридійовому стрижні-еталоні |
|
1960 |
1 |
м = 1650763,73 довжин хвиль |
|
випромінювання у вакуумі, що виникає |
|
|
при переході між рівнями 2p10 та 5d5 атому |
|
|
криптону-86 |
|
1983 |
1 |
м = відстань, яку проходить світло |
|
у вакуумі за 1/299792458 частку секунди |
|
|
Відносна похибка 10-9-10-11 |
|
1967 |
1 |
с = 9 192 631 770 періодів випромі- |
|
нювання, що виникає при переході між |
|
|
двома рівнями надтонкої структури |
|
|
основного стану атома цезію-133 |
|
|
Відносна похибка 10-11 |
|
1889 |
1 |
кг = маса міжнародного еталона |
|
кілограма (циліндр висотою та діаметром |
|
39 мм, виготовлений із сплаву 90% платини та 10% іридію)
Відносна похибка порівняння еталонів-копій 10-9
Контрольні запитання і вправи.
16
Розділ 2
ОПИС МЕХАНІЧНОГО РУХУ (КІНЕМАТИКА)
2.1. Кінематика точки
Кінематика (від грецького κίνήµατος (kinématos) - рух, зміна) - розділ механіки, в якому розглядаються способи математичного опису механічного руху тіл не торкаючись його причин.
Відповідний рівень абстракції в кінематиці такий, що матеріальний характер точок, які рухаються,
не має ніякого значення. Замість матеріальної точки в кінематиці можна оперувати поняттям точки відомим з геометрії і кінематика, таким чином, зводиться до вивчення геометричних властивостей руху тіл.
Залежно від характеристик об’єкту, рух якого вивчається, можна говорити про кінематику точки (відповідає моделі матеріальної точки), кінематику абсолютно твердого тіла та кінематику неперервно деформованих тіл, рідин та газів.
Основна задача кінематики точки та абсолютно твердого тіла1, які будуть розглянуті в цьому та наступному параграфах, є кількісний опис (за допомогою аналітичних виразів, графіків,
таблиць тощо) рухів, що їх здійснюють точки або тверді тіла відносно обраної системи відліку, і
визначення всіх кінематичних характеристик цих рухів. Кінематика розглядає також рухи віднос-
но систем відліку, що рухаються одна відносно одної, і зв’язок між кінематичними характеристиками руху відносно цих систем відліку.
Нижче ми розглянемо три способи опису руху точки: векторний, координатний та так званий природний.
2.1.1. Векторний спосіб
Нехай нас цікавить рух деякої точки A відносно деякої наперед заданої системи відліку.
Оберемо деяку точку O нерухому відносно цієї системи відліку. Назвемо її початком відліку.
Проведемо відрізок прямої з початку O до точки A . Напрямлений відрізок OA , тобто такий, для
1Надалі ми будемо вживати терміни тверде тіло та тіло , маючи на увазі тіла, що не деформується в процесі руху, замість більш довгого виразу абсолютно тверде тіло, якщо спеціально не вказано на деформованість цих тіл.
17
якого вказано початок (точка O ) та кінець (точка A )2, називають радіус-вектором r точки A
відносно початку O . При зміні з часом положення точки A вона описує в просторі криву, яка
називається траєкторією точки A (Рис. 2.1). При цьому змінюється і радіус-вектор r , тобто він є
функцією часу t . Таким чином траєкторію точки A можна розглядати як геометричне місце
кінців радіус-вектора r (t) 3. Рівняння траєкторії у векторному вигляді записують як залежність
радіус-вектора від часу |
|
r = r (t) |
(2.1) |
Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний рух частинки, рух по колу,
криволінійний рух тощо.
Зауважимо, що поняття траєкторії застосовне
Рис. 2.1.
лише для макроскопічних тіл. Для мікрочастинок
(наприклад, електронів, протонів, нейтронів) поняття траєкторії у багатьох випадках або незастосовне зовсім або застосовне з обмеженою точністю.
2.1.2. Координатний спосіб |
|
|
|
Векторний спосіб є по суті геометричним і |
|
||
вельми наочним, але часто прагнуть до |
|
||
арифметизації опису руху. Для цього з обраною |
|
||
системою відліку зв’язують систему |
координат |
|
|
(декартову прямокутну, сферичну, циліндричну |
|
||
тощо). Вибір тієї чи іншої системи координат та її |
|
||
орієнтація визначається постановкою задачі, її |
|
||
симетрією та прагненням спростити розгляд руху. Як |
|
||
приклад розглянемо декартову прямокутну систему |
|
||
координат (Рис. 2.2). Положення |
точки |
A |
|
однозначно визначається трьома її координатами |
Рис. 2.2 |
||
x, y, z , які є функціями часу t : |
|
|
|
2 Це означає, що положення точок O і A визначено відносно системи відліку, наприклад, відстанями li від цих точок до тіл відліку системи відліку.
3 Поняттю траєкторії в аналітичній геометрії відповідає поняття годографа.
|
18 |
x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) |
(2.2) |
Ці три рівняння описують траєкторію точки |
A . У математиці такий спосіб задання кривої |
називається параметричним. Рівняння траєкторії в явному вигляді, тобто у вигляді рівняння, яке пов’язує між собою декартові координати x, y, z можна отримати виключаючи параметр t із системи рівнянь (2.2).
На практиці часто початок системи координат зв’язують з одним із тіл відліку, а орієнтацію її осей задають за допомогою інших тіл відліку. Наприклад, у космонавтиці часто використовують систему координат, початок якої співпадає з центром мас космічного апарату, а осі напрямлені на обрані “нерухомі”, тобто дуже віддалені, зірки.
Зауважимо, що в останньому прикладі до системи відліку належить не тільки одне тіло відліку – космічний апарат, як часто вважають, а й тіла відліку – зірки, що забезпечують визначеність орієнтації осей.
Необхідно підкреслити, що яку б систему координат ми не обрали: декартову прямокутну, сферичну,
циліндричну або ще якусь, положення точки буде завжди визначатись трьома дійсними числами, що відбиває тривимірність простору, в якому ми живемо.
Між векторним та координатним способами опису руху точки існує найтісніший зв’язок,
зумовлений тим, що з точки зору математики задати координатну систему в просторі розмірності n означає задати n лінійно незалежних векторів (так званий векторний базис). На Рис. 2.2 такий базис декартової прямокутної (ортогональної) системи координат утворено взаємно
перпендикулярними одиничними векторами (ортами) i , j, k . Радіус-вектор rG |
точки A відносно |
||||
початку O може бути поданий у вигляді суми трьох векторів-складовихrG |
, |
r |
, rG , напрямлених |
||
x |
|
y |
z |
|
|
вдовж векторів i , j, k , тобто вздовж осей Ox,Oy,Oz : |
|
|
|
|
|
r = rx + ry + rz . |
|
|
|
|
(2.3) |
Кожну з цих складових можна виміряти відповідним ортом: r = xi , |
rG = yj , |
rG |
= zk і |
||
x |
|
|
y |
z |
|
подати радіус-вектор r в остаточному вигляді |
|
|
|
|
|
rG = xi + yj + zk , |
|
|
|
|
(2.4) |
де дійсні числа x, y, z у цій сумі за означенням є декартові координати точки A .
19
Підкреслимо, що радіус-вектор r є геометричний об’єкт, що існує незалежно від того, чи обрано
якусь систему координат чи ні. Тим більше радіус-вектор r не залежить від того, яку саме систему координат обрано. В той же час координати x, y, z вектора r залежать від вибору системи координат.
Нехай точка A нерухома відносно обраної системи відліку. Тоді її радіус-вектор rG є сталим, тобто його орієнтація відносно системи відліку і його довжина (модуль) r = rG не змінюються з часом. Якщо тепер
обирати різні декартові системи координат, то для одного й того ж самого вектора r отримаємо різні набори координат. Наприклад, будемо по черзі обирати системи координат, в яких одна з координатних
осей направлена вздовж радіуса-вектора r . Тоді, при rG
Ox маємо x = r, y = 0, z = 0 ; при rG
Oy маємо x = y, y = r, z = 0 ; при rG
Oz маємо x = 0, y = 0, z = r .
Таким чином, систему відліку та систему координат не можна ототожнювати, як це іноді роблять.
Система відліку – це поняття суто фізичне, яке ґрунтується на виборі певних матеріальних об’єктів. Поняття системи координат – абстрактно-математичне. В одній і тій же фізичній системі відліку можна ввести безліч систем координат різних типів по-різному з нею пов’язаних, у тому числі й таких, що рухаються відносно цієї системи відліку. З огляду на це немає жодних підстав для включення системи координат до означення системи відліку як це іноді трапляється.
2.1.3. Природний спосіб
Якщо траєкторія руху точки наперед відома, то рух точки можна описати в такий спосіб. У
деякій точці траєкторії обирають початок відліку O , а також виділений напрям уздовж траєкторії.
(Рис. 2.3). Тоді положення точки A відносно початку O можна однозначно описувати дуговою
координатою s – відстанню вздовж траєкторії від точки A
до початку O , взятою зі знаком плюс або мінус, залежно від того, в якому напрямку, у виділеному (додатному) чи у протилежному (від’ємному), треба рухатись вздовж
траєкторії з точки O , щоб досягти точки A .
Саме в такий природний спосіб найчастіше характеризують положення об’єкту або місце події в повсякденному житті, прив’язуючись до мережі транспортних
магістралей на поверхні Землі. Коли ми читаємо в газеті повідомлення про пригоду на такому-то кілометрі
20
залізниці Київ - Фастів, то ми дістаємо однозначне уявлення про місце події, незважаючи на те, що нам не
сповіщають ні його координати, ні його радіус-вектор.
2.1.4. Шлях, вектори переміщення, швидкості та прискорення
Введемо деякі поняття необхідні для більш повного опису руху матеріальної точки
(частинки). Нехай деяка частинка перемістилась з однієї точки простору в іншу.
Вектором переміщення або просто переміщенням частинки називають вектор, початок якого співпадає з початковим положенням частинки, а кінець — з її кінцевим положенням. Наприклад,
на Рис. 2.4 показано вектор переміщення із точки 1 в точку 2 позначений як rG12 .
Рух частинки можна також характеризувати шляхом, що його проходить частинка при переміщенні з однієї точки простору в іншу. Шляхом називається довжина дуги траєкторії,
що з’єднує початкове та кінцеве положення частинки. На
Рис.2. 4 шлях на відрізку траєкторії частинки між точками 1 і 2
позначено як s12 .
Одному й тому ж вектору переміщення можуть відповідати різні траєкторії, і, відповідно, різні шляхи.
Переміщення за означенням є величина векторна, а шлях - скалярна, причому завжди додатно визначена, і їх не слід плутати. Нехай, наприклад, частинка рухається таким чином, що її кінцеве положення співпадає з початковим. При цьому переміщення дорівнює нулю (вектор переміщення є нуль-вектор), а шлях,
пройдений частинкою, не дорівнює нулю, а дорівнює довжині замкненої траєкторії.
|
Нехай радіус-вектор частинки в деякий момент часу |
t1 є |
r1 = r (t1 ) , а в момент часу t2 — |
|||||||
rG |
= rG(t |
2 |
) . З Рис. 2.4 видно, що вектор переміщення |
r |
= r |
− r |
можна розглядати як приріст ∆r |
|||
2 |
|
|
|
|
|
12 |
2 |
1 |
|
|
радіус-вектора |
r |
за проміжок часу ∆t = t2 − t1 : |
∆r = r12 . |
Середнім вектором швидкості |
||||||
називають векторну величину |
|
|
|
|
||||||
|
G |
= |
∆r |
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
∆t |
|
|
|
|
|
(2.5) |
||
|
Ясно, |
що |
υG |
∆rG . Зрозуміло також, що середній вектор швидкості залежить від проміжку |
||||||
часу ∆t , на якому він обчислюється. Якщо ми будемо при незмінному t1 , наприклад, зменшувати
∆t , то середній вектор швидкості буде змінюватись, в загальному випадку і за модулем і за
21
напрямком, оскільки буде змінюватись і приріст ∆r радіус-вектора r набутий за цей проміжок часу. Точка 2, що визначає кінець вектора ∆r (Рис. 2.4), буде наближатися до точки 1. Можна поставити питання про границю, до якої прямує середній вектор швидкості υG при прямуванні
∆t до нуля, а отже і при нескінченному наближенні точки 2 до точки 1. Ця границя буде характеризувати рух частинки в момент часу t1 , коли вона знаходиться в точці траєкторії 1, і
називається вектором швидкості або миттєвою швидкістю або просто швидкістю. Таким чином,
вектор швидкості в момент часу t визначається як границя
G |
r (t + ∆t) − r (t) |
∆r |
|
dr |
G |
|
υ = lim∆t→0 |
|
= lim∆t→0 ∆t |
= |
dt |
= r . |
(2.6) |
∆t |
||||||
В математиці така границя називається |
похідною радіус-вектора r |
за часомt 4. Вектор |
||||
швидкості υG направлений так само як нескінченно малий вектор елементарного переміщення dr ,
що здійснюється за нескінченно малий проміжок часу dt , тобто по дотичній до траєкторії в точці,
де знаходиться частинка в момент часу t . Отже вектор швидкості υ частинки направлений по
дотичній до її траєкторії в напрямі руху. Модуль швидкості υ визначається як модуль вектора швидкості υG :
|
G |
|
|
|
|
|
drG |
|
|
|
drG |
ds |
|
ds |
|
∆r |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
υ = |
υ |
|
= |
|
|
dt |
|
= |
|
ds × dt |
|
= dt × lim∆s→0 |
|
|
|
|
|
, |
(2.7) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∆s |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∆rG |
|
|
|||||||||||||||||||
Оскільки при ∆t → 0 різниця між довжиною хорди |
|
|
та довжиною дуги ∆s , яку вона |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
стягує, прямує до нуля, тобто |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim∆s→0 |
|
∆rG |
|
|
= 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
∆s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
то для модуля швидкості υ справедлива рівність |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
υ = ds |
= s . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 Похідну за часом (і лише її!) в механіці часто позначають крапкою над відповідною функцією часу, як це зроблено в правій частині виразу (2.6).