Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4660 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Киевский национальный университет им. Т. Шевченко
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Вища Математика для Економістів

.pdf
Скачиваний:
573
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
5.79 Mб
Скачать
☆

 

 

1

 

1 cos 4x

dx

 

1

sin2 2x

1

d sin

2x

8

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

1

 

dx

 

1

cos 4x dx

 

1

sin2 2x d sin 2x

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

16

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

1

sin

4x

1

sin3 2x C .

 

 

 

 

 

 

16

64

48

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Інтеграли виду

 

tgm

x dx

та ctgm x dx , де m – ціле

додатне число. При знаходженні таких інтегралів застосовується формула tg2x sec2 x 1 (або ctg2x cos ec 2x 1), за допомогою якої послідовно знижується ступінь тангенса або котангенса.

Приклади 17. Знайти інтеграли

1) tg7 x dx .

tg7 x dx tg5x sec2 x 1 dx tg5 x d tg x tg5 x dx

 

tg6x

tg3x sec2 x 1 dx

 

tg6x

 

tg4x

tg x sec2 x 1dx

 

6

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

tg6x

 

tg4x

 

 

tg2x

ln

 

cos x

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

6

4

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) ctg6x dx .

ctg6x dx ctg4x cos ec 2x 1 dx ctg4x d ctg x ctg4x dx

 

 

 

 

ctg5 x

 

ctg2x cos ec 2x 1 dx

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg5 x

 

ctg3x

cos ec 2x 1 dx

ctg5x

 

ctg3x

ctg x x C .

 

 

 

 

5

3

 

 

 

 

5

3

 

 

4. Інтеграли виду tgm x secn

x dx

й ctgm x cos ecn x dx , де

п – парне додатне число.

Такі інтеграли

 

знаходяться аналогічно

розглянутим у п. 3 за допомогою

формули sec2 x 1 tg2x (або

cos ec 2x 1 ctg2x ).

 

 

 

 

 

 

 

Приклади 18. Знайти інтеграли

322

1) tg4x sec6 x dx .

tg4x sec6 x dx tg4x sec4 x sec2 x dx

tg4x 1 tg2x 2d tg x tg4x d tg x 2 tg6x d tg x tg8 x d tg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

tg5 x

2

tg7 x

1

tg9x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx 1 ctg

 

x cosec

 

 

 

 

 

cosec

4

x dx cosec

2

x cosec

2

2

2

x dx

sin

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos ec 2x dx ctg2x d ctg x ctg x

ctg3x C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Інтеграли виду

sec2n 1 x dx

й cos ec 2n 1x dx . Інтеграли

від непарного додатного ступеня секанса або косеканса простіше всього знаходяться за рекурентними формулами:

sec

2n 1

x dx

1

 

sin x

 

1

sec

2n 1

x dx . (1)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

cos

2n

x

 

 

 

 

 

2n

 

 

2n

 

 

 

cos ec

2n 1

1

 

cos x

 

1

cos ec

2n 1

 

 

x dx

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x dx . (2)

 

2n

sin

2n

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

Приклади 19. Знайти інтеграли

1) cosec 5 x dx .

Застосовуючи рекурентну формулу (2) при 2n 1 5 , тобто при n 2 , одержимо

cos ec

5

x dx

1

 

cos x

3

cos ec

3

x dx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

sin

2n

x

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

покладаючи 2n 1 3 , тобто n 1, за тією ж формулою маємо

cos ec

3

 

1

 

 

cos x

1

cos ec x dx .

 

x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

Оскільки cos ec

x dx

 

 

dx

 

 

tg

x

 

C , тоді

 

 

 

ln

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

323

cos ec

3

x dx

 

 

cos x

 

 

 

1

ln

tg

 

x

 

C ,

 

 

 

2sin

2

x

2

2

 

 

cos ec

5

x dx

 

cos x

 

3 cos x

3

 

 

 

 

 

 

x

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

4 sin

4

 

 

8 sin

8

 

 

8

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Інтеграли виду

 

sin mx cos nx dx,

 

 

 

 

cos mx cos nx dx,

sin mx sin nx dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тригонометричні формули

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin α cos β

 

1

 

sin α β sin α β ,

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos α cos β

1

cos α β cos α β ,

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin α sin β

1

cos α β cos α β

(3)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дають можливість добуток тригонометричних функцій представити у вигляді суми.

Приклади 20. Знайти інтеграли

1) sin 2x cos 5x dx .

Використовуючи формулу (1), одержимо

sin 2x cos 5x dx 12 sin 7x sin 3x dx

 

1

sin 7x dx

1

 

sin 3x

 

dx

1

 

cos 7x

1

cos 3x C .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

6

 

 

 

2) cos x cos

x

cos

x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Застосуємо до добутку cos x cos

формулу (2):

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

3x

 

 

 

x

x

 

 

 

cos x cos

 

 

cos

 

 

dx

 

 

cos

 

 

 

 

cos

 

 

cos

 

dx

 

 

2

4

2

2

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

cos

3x

cos

x

dx

1

 

cos

x

cos

x

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

324

Знову використовуючи ту ж формулу, знаходимо

 

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

7x

 

 

 

 

 

5x

 

 

1

 

 

 

 

 

3x

 

x

cos x cos

 

cos

 

 

dx

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

cos

 

 

dx

 

 

cos

 

 

 

cos

 

dx

2

4

 

 

 

 

4

 

4

 

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

sin

7x

 

1

sin

5x

 

 

1

sin

3x

sin

x

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5

 

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

Тригонометричні

 

 

 

підстановки.

 

 

 

 

Інтеграли

 

виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

2

x

2

dx ,

R

 

 

a

2

x

2

 

 

R

 

 

x

2

a

2

 

 

 

R x,

 

 

 

x,

 

 

 

 

dx,

x,

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приводяться до

інтегралів

від раціональної

відносно

 

sin t й

 

cos t

функції за допомогою належної тригонометричної підстановки: для

першого інтеграла x a sin t (або x a

cos t ),

для другого x a tg t

(або x a ctg t ) і для третього x a sec t

(або x a cosec t ).

 

 

Приклади 21. Знайти інтеграли

 

 

 

 

 

 

 

1) I

 

a 2 x 2

dx .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x a sin t , тоді dx a cos t dt і заданий інтеграл

 

 

Покладемо

матиме вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

a 2 x 2 sin2 t

 

 

a

cos t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

cos2 t

dt a

 

1 sin2 t

dt a

 

 

dt

 

a sin t dt

sin t

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a ln

 

cos ec t ctg t

 

a cos t C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

Для знаходження інтегралу

 

 

 

ми скористалися формулою

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

ln

 

cos ec t ctg t

 

 

C ,

тому що з її допомогою легше перейти

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

до минулої змінної х. Таким чином, одержуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I a ln

 

1

 

 

 

 

cos t

 

 

 

 

a cos t C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де sin t x /a, cos t

a 2

x 2 /a . Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a2 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I a ln

 

 

 

a2 x 2 C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

325

2) I

 

 

 

dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x 2 a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Застосуємо підстановку x a sec t ,

звідки dx a sec t tg t dt .

Тоді одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a sec2 t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

sec2 t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg t sec t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a tg t

 

 

a2 a2 tg2 t

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

sec t

dt

1

 

 

 

 

 

dt

 

 

1

ln

 

cos ec

 

t ctg t

 

C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

tg t

 

 

 

 

 

 

 

a

sin t

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де tg t x /a

й, отже,

 

ctg t a /x,

 

 

 

 

cos ec t

1 ctg2t a 2 x 2 /x .

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

1

ln

 

 

 

 

 

a2 x 2

 

a

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) I

 

 

x 2dx

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a sec t ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx a sec t tg t dt .

Застосуємо підстановку

 

 

 

 

звідки

Тоді одержимо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

a 2 sec2 t a sec t

tg t

dt a 2 sec3 t dt .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2 sec2 t a 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далі застосуємо рекурентну формулу (1)

 

п. 5 при n 1:

sec

3

t

dt

1 sin t

 

 

1

 

 

sec t dt

 

sin t

 

 

1

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 cos

2

t

2

 

2 cos

2

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

cos t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin t

 

 

 

1

ln

 

sec t tg t

 

 

C ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos2 t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де sec t x /a,

cos t a /x,

sin t

 

 

 

 

x 2 a 2

/x,

 

 

tg t

 

 

 

x 2 a 2 /a .

Отже,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

a2 sin t

 

 

 

 

a 2

 

sec t tg t

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos2 t

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

 

x

 

 

x 2 a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

a

2

 

 

 

 

 

C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

326

§ 3. Застосування невизначених інтегралів в економіці

Загальні витрати, граничні витрати, середні витрати

Приклад 22. Виробництво продукції характеризується граничними витратами у вигляді функції від обсягу виробництва (кількість одиниць продукції). Фірма хоче визначити функціональне співвідношення між кількістю випущеної продукції та загальними виробничими витратами. Відомі при цьому постійні виробничі витрати, що складають 5000 грош. од. Граничні витрати МС (у грош. од.) представлені функцією

MC 0,003Q 2 0,2Q.

Ця функція повинна бути інтегрована для утворення функції загальних витрат ТС. Інтегрування та додавання до отриманого постійних витрат приводить до такої функції загальних витрат:

TC MCdQ 0,001Q 3 0,1Q 2 5000.

Наприклад, при Q=200 знаходимо

MC 0,003Q 2 0,2Q 0,003 2002 0,2 200 80 (грош. од.),

TC 0,001Q 3 0,1Q 2 5000 0,001 2003 0,1 2002 5000 9000 (грош. од.).

Середні витрати АС дорівнюють

AC

TC

0,001Q 2 0,1Q

5000

0,001 2002 0,1 200

5000

45

Q

Q

 

 

 

200

 

(грош. од.)

Таким чином, при виробництві 200 одиниць продукції загальні витрати складають 9000 грош. од., а граничні витрати – 80 грош. од. на одну додаткову одиницю продукції.

Загальний доход, граничний доход, середній доход

Приклад 23. Постачальник DVD-плеєрів знає функцію граничного доходу (в грош. од.) від кількості DVD-плеєрів Q (в штуках):

MR 250 0,3Q Q 2 . 40

327

Постачальник хоче знайти функціональну залежність загального доходу і середнього доходу від одиниці продукції.

При визначенні загального доходу TR за допомогою інтегрування функції граничного доходу МR виникає константа інтегрування, яку вважаємо рівною нулю як доход без виробництва. Тоді маємо:

TR MRdQ 250Q 0,15Q 2 Q 3 . 120

Середній доход АR визначається як частина загального доходу на одиницю продукції. Тоді

TR

 

 

Q 2

AR

 

250

0,15Q

 

.

Q

 

 

 

120

 

Знаючи ці три функціональні залежності, легко знайти граничний доход, загальний доход і середній доход для конкретного рівня виробництва. Так, при Q=20 (20 DVD-плеєрів) маємо

MR 250 0,3 20 202 237, 40

TR 250 20 0,15 202 203 4873, 120

AR 250 0,15 20 202 243,67. 120

Таким чином, для рівня виробництва 20 DVD-плеєрів постачальник буде мати 237 грош. од. додаткового доходу за додаткову одиницю продукції, 4873 грош. од. загального доходу, що приносить середній доход 243, 67 грош. од. на один DVD-плеєр.

Нарощування капіталу

Розглянемо ще один приклад застосування невизначеного інтеграла для визначення функціональної залежності нарощування капітального майна. Залежності подібного типу застосовуються при аналізі національної та регіональної економіки. Якщо формування капіталу (нові заводи, устаткування, машини і т.п.) розглядати як

328

неперервний процес залежний від часу, то зміна капітального майна визначається у вигляді функції від часу. Знаючи процес формування капітального фонду (наприклад, нові капіталовкладення) у часі, тобто як функцію від часу, можемо визначити значення загального капітального фонду у вигляді невизначеного інтеграла. При цьому, застосовуючи невизначений інтеграл до функції створення капітального майна, знаходимо величину загального фонду капіталу з точністю до константи інтегрування С. Остання визначається з початкових умов (величини загального капітального фонду в деякий фіксований момент часу, наприклад, при t=0).

Приклад 24. Адміністрація регіону вивчає функціональну залежність формування капіталу в даному регіоні, оскільки вважає, що нарощування капіталу є визначною складовою добробуту регіону.

Адміністрації відомі два факти. Перший – це величина капітального фонду в початковий момент часу t=0, яка складає 10 млрд. грош. од. Другий – темп інвестицій як функції від часу

1

g(t) 0,6t 4 ,

де t вимірюється у роках.

Метою дослідження є встановлення функціонального виразу величини капіталу (у млрд. грош. од.) як функції часу K(t). Визначення цієї залежності відбувається шляхом інтегрування функції інвестицій g(t) за часом t. Константа інтегрування визначається початковим значенням капіталу, а саме С=10 (млрд. грош. од.). В результаті маємо

K(t) g(t)dt 0,6t1/4dt 0,6(4/5)t 5 /4 C 0,48t 5 /4 10.

Це і є шукана функціональна залежність загальної суми капітального майна (у млрд. грош. од.) в кожний момент часу, що вимірюється у роках з початкового моменту.

Наприклад, через 16 років (t=16) величина капітального фонду складе

K(t) 0,48(16)5/4 10 0,48 32 10 25,36.

Таким чином, через 16 років капітальний фонд у регіоні складе 25,36 млрд. грош. од.

329

Завдання для самостійної роботи

Знайти інтеграли за допомогою таблиці інтегралів шляхом безпосереднього інтегрування та введення змінної під знак диференціала:

1. x x dx .

4. 2 x 4 dx

1 x 2

7. sh x sin x dx

10. x cos (x 2 ) dx

13. sinx cos x dx

2.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

2

 

1 x

2

 

dx .

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x 2

5.

e 3x 3x dx

 

6.

tg2 x dx .

 

 

 

 

 

1

 

2

 

9.

 

2tg x 3ctg x 2 dx

8.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

12. ax 2 b 1/3 x dx

11.

 

dx

 

 

x ln x

 

14.

sin a bx dx

15. cos sin x cos x dx

 

 

 

 

Знайти інтеграли за допомогою заміни змінної:

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3 1 2x 4 3

 

 

 

16.

 

2x 1

dx .

17.

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ch 5x 2 3 dx .

18.

sin 2 3x dx .

19.

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3/2

 

 

 

 

20.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

21.

x x

 

1

 

 

 

dx.

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

22.

 

 

x dx

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23.

 

x dx

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4 1

 

 

 

 

 

 

 

 

24.

 

 

 

sin 4x dx

25.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

e x /2 dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26.

 

 

 

 

 

 

2 x 2 2 x 2

 

 

 

 

.

 

27.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x 4

 

28.

 

 

 

x 2 dx

 

 

 

 

.

 

29.

 

5x 3

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x 2

 

 

 

 

2 3x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

31.

 

 

3x 5

dx.

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

32.

 

 

 

.

33.

 

 

 

x

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x 1

 

 

 

330

Знайти інтеграли шляхом інтегрування частинами:

34.

x ln x dx.

35.

 

arcsin x dx.

36.

x 2 arctg x dx.

37.

 

x 1 e x dx.

38.

x 2 sin x dx.

39.

 

x 5e x 2

dx.

 

 

 

 

 

 

41.

 

x 2

2x 3 cos x dx.

40.

x 2 dx.

 

42.

e 2x cos x dx.

43.

sin ln x dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos xdx

 

44.

sin x dx.

45.

 

.

sin

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайти інтеграли від найпростіших раціональних дробів:

46.

 

dx

.

 

 

 

47.

 

dx

 

 

.

48.

 

 

 

dx

.

 

 

4

 

 

 

 

3

x

2

6x 18

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

49.

 

x 2dx

 

 

.

50.

 

 

 

x 2

 

 

 

dx. 51.

 

 

 

5x 3

 

 

dx.

 

 

 

 

 

x 2 4x 7

 

 

 

 

 

 

 

x 6 2x 3

3

 

 

x 2

10x 29

 

52.

 

x 1

 

dx.

53.

 

 

 

dx

 

.

 

54.

 

 

 

2x 3

 

 

dx.

 

 

5x 2 2x 1

 

x 2 2 3

 

 

 

 

x 2 2x 5 2

 

Знайти інтеграли від раціональних дробів за допомогою розкладання на найпростіші дроби:

x2

55.x x 3 dx .

57. 5x 3 17x 2 18x 5 dx .

x 1 3 x 2

59.x 3 x 1 dx.

x4 81

x1

61.x 2 1 x 2 9 dx.

63.x 2 2 dx.

x4 4

 

 

x 3

x 2

65.

 

`

 

 

dx.

x

2

 

 

 

 

6x 5

67.3x 3 x 2 5x 1dx.

x3 x

 

 

 

2x 2 x 3

56.

x 2 x 2 x 1

dx.

58.

 

 

dx

.

 

 

 

 

 

x

3

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60.

 

 

 

dx

 

 

.

 

 

 

x 2

2x 2

 

 

 

 

 

19/16 x 2

x 1

62.

x 2

4 x 2 2x 5

dx.

64.

 

 

x 3 dx

.

 

 

x

2

4x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

66.

 

 

x 4

 

dx.

 

 

 

x

4

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

68.2x3 40x 8 dx.

x(x 4)(x 2)

331

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности