Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

02_03_розділи

.doc
Скачиваний:
9
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
264.19 Кб
Скачать

Унормована випадкова величина першого порядку {Xун,1(ω)} або модульний коефіцієнт випадкової величини {K (X(ω)) або K(x)} – це відношення значень випадкової величини X(ω) до її математичного очікування, причім імовірнісне середнє унормованої випадкової величини першого порядку {для невід'ємної вихідної X(ω)} дорівнює одиниці, отже

Xун,1(ω) = X(ω) / mx K (X(ω)) ≡ K(x) , (3.24)

M [Xун,1(ω)] ≡ mx,ун,1mK(x) = 1 . (3.25)

Унормована випадкова величина другого порядку {Xун,2(ω)} або, інколи, просто унормована випадкова величина {Ф (X(ω)) або Ф(x), "фі" велика} – це відношення відхилень значень випадкової величини X(ω) від її математичного очікування (або відношення зцентрованої випадкової величини) до стандарту, причім імовірнісне середнє вже унормованої випадкової величини другого порядку дорівнює нулю, а її дисперсія, а отже і стандарт – одиниці, звідси

Xун,2(ω) = (X(ω) – mx) / σ [X(ω)] = Xзц(ω) / σ [X(ω)] ≡

Ф (X(ω)) ≡ Ф(x) = Xзц(ω) / σx , (3.26)

M [Xун,2(ω)] ≡ mx,ун,2mФ(x) = 0 , (3.27)

D [Xун,2(ω)] ≡ Dx,ун,2DФ(x) = 1 . (3.28)

Зауважимо, що унормовану випадкову величину Ф (X(ω)), зважаючи на записи (3.22) і (3.24), можна подати і через модульний коефіцієнт і коефіцієнт варіації, а саме як

Ф (X(ω)) = (K (X(ω)) – 1) / Cv [X(ω)] . (3.29)

Повертаючись до моментів, зазначимо, що центральний момент третього порядку застосовують для характеристики міри асиметрії розподілу значень випадкової величини. Якщо графік (крива) щільності розподілу симетрична відносно центру розподілу (математичного очікування, див. схему рис.3.3), то всі центральні моменти непарного порядку дорівнюють нулю.

Доведемо останнє положення. Для непарних (2k+1) центральних моментів, наприклад, неперервної випадкової величини, зважаючи на (3.14), маємо

μ2k+1 [X(ω)] = (x – mx)2k+1 ƒ(x) dx . (3.30)

-∞

Зробимо в інтегралі заміну змінної y = x – mx, тоді

μ2k +1 [X(ω)] = y2k+1 ƒ(y + mx) dx . (3.31)

-∞

Оскільки, через симетрію функції ƒ(x) відносно mx, функція ƒ(y + mx) є парною, то інтеграл у правій частині дорівнює нулю як інтеграл від непарної функції за симетричним інтервалом.

З метою загального визначення наявності асиметрії в розподілах випадкової величини та оцінювання міри такої асиметрії для асиметричних розподілів обирають наступний після першого {перший завжди дорівнює нулю, див. (3.15)-(3.16)} непарний центральний момент, а отже центральний момент третього порядку μ3 [X(ω)]. Для того, щоб при цьому отримати безрозмірний показник, використовують т.зв. коефіцієнт асиметрії розподілу значень випадкової величини. Цей коефіцієнт {Cs [X(ω)] або Cs,x} визначають через нормування третього центрального момента за кубом стандарту, тобто як

Cs [X(ω)] = μ3 [X(ω)] / (σ [X(ω)])3Cs,x . (3.32)

Для симетричних розподілів випадкової величини (тобто тих, у яких всі непарні моменти розподілу дорівнюють нулю) запроваджено також показник, що характеризує ступінь "гостровершинності" або крутизну розподілу, за міру чого править його ексцес {ε [X(ω)] або εx, "епсилон" мала}. Безрозмірний ексцес визначають через нормування центрального момента четвертого порядку за стандартом у четвертому степені та віднімання від отриманої частки трійки, тобто як

ε [X(ω)] = μ4 [X(ω)] / (σ [X(ω)])4 – 3 ≡ εx . (3.33)

Зміст формули (3.33) стає зрозумілим, виходячи з такого. Для т.зв. нормального розподілу випадкової величини (див. р.5) відношення μ4 [X(ω)] / (σ [X(ω)])4 = 3, тобто цей розподіл має нульовий ексцес. Для розподілів, більш "гостровершинних" (крутих) у порівнянні з нормальним, εx > 0, для більш "плосковершинних" εx < 0.

У [7,12] показано, що можна отримати розрахункові формули для взаємозв'язків між будь-якими моментами випадкової величини: довільними, початковими та центральними. Так, вираз для зв'язку між найбільш вживаними при імовірнісному аналізі у географії видами моментів – центральними (μk,x) та початковими (mk,x) будь-якого порядку – має вигляд

μk,x = mk,x – Ck1 mk-1,x m1,x + Ck2 mk-2,x m1,x2 – Ck3 mk-3,x m1,x3 + … +

+ (1)k-1 Ckk-1 m1,xk-1 + (1)k m1,xk , (3.34)

де CkS – число сполучень (комбінацій) з k за S ({S} = {1, 2, 3 … k}) (див. також р.5).

Користуючись (3.34), можна встановити співвідношення між першими чотирма центральними та початковими моментами розподілу випадкової величини, нагадуючи, що будь-які нульові моменти дорівнюють одиниці, а перший центральний – нулю, а саме

μ0,x = 1 , (3.35)

μ1,x = 0 , (3.36)

μ2,x = m2,x – m1,x2 , (3.37)

μ3,x = m3,x3 m2,x m1,x + 2 m1,x3 , (3.38)

μ4,x = m4,x4 m3,x m1,x + 6 m2,x m1,x 3 m1,x4 . (3.39)

Перевіримо іншим шляхом за відповідними формулами цього розділу правильність, наприклад, співвідношення (3.37), отриманого із застосуванням формули (3.34).

Отже, не забуваючи, що математичне очікування є першим початковим моментом,

∞ ∞ ∞

μ2,x = (x – mx)2 ƒ(x) dx = ∫ x2 ƒ(x) dx – 2 mx x ƒ(x) dx +

-∞ -∞ -∞

+ mx2 ƒ(x) dx = m2,x 2 mx + mx2 = m2,x – m1,x2 , (3.40)

-∞

тобто співвідношення (3.37) є вірним.

У межах цього розділу стисло розглянемо і таке методично важливе у імовірнісних методах поняття, як поняття про характеристичну функцію.

Характеристичну функцію {g(t)} подекуди ([1, 4, 5]) використовують як закон розподілу випадкової величини X(ω) і визначають як математичне очікування комплексної випадкової величини eitX(ω), тобто

g(t) = M [eitX(ω)] , (3.41)

де i = (– 1)0,5.

Якщо X(ω) – дискретна випадкова величина, то її характеристичну функцію визначають за виразом {не забуваючи про X(ω) = X(x) ≡ x}

g(t) = eitxk pk , (3.42)

k

для неперервної ж випадкової величини характеристичною функцією є

g(t) = eitx ƒ(x) dx , (3.43)

-∞

або, знову-таки зважаючи на взаємозалежність щільності та функції розподілу неперервної випадкової величини,

g(t) = eitx dF(x) , (3.44)

-∞

де pk – ймовірності, відповідні xk (тобто власне розподіл дискретної величини, див. р.2);

ƒ(x) і F(x) – відповідно, щільність та функція розподілу значень x неперервної випадкової величини X(ω).

З властивостей характеристичної функції слід відзначити, що g(0) = 1, │ g(t)│ ≤ 1, при цьому {– ∞ < t < ∞}.

Формула (3.43), що перетворює функцію ƒ(x) аргументу x у комплекснозначну функцію g(t) аргументу t є формулою перетворення Фур'є. Позаяк характеристична функція неперервної випадкової величини є зворотним перетворенням Фур'є щільності розподілу ƒ(x), то, як відомо з теорії зворотних перетворень Фур'є ([1, 4]), для функції g(t), що абсолютно інтегрується, щільність розподілу ƒ(x) випадкової величини може бути отримана як пряме перетворення Фур'є для функції g(t), тобто

ƒ(x) = (1/2π) e – itx g(t) dt . (3.45)

-∞

Отже, щільність розподілу та характеристична функція неперервної випадкової величини однозначно визначають одна одну, причім у певних випадках ([1, 5]) користуватися характеристичною функцією зручніше, ніж щільністю розподілу, зважаючи також і на відсутність останньої для дискретних розподілів.

Характеристичну функцію застосовують при аналізі теоретичних законів розподілу випадкової величини ([1, 4]), у т.ч. для визначення моментів розподілу шляхом певних перетворень зазначеної функції, детально розглянутих у [4, 5].

Підводячи підсумок положенням, викладеним у цьому розділі, слід зазначити, що, по-перше, через відносну обмеженість значень емпіричних розподілів географічних даних, спричинену, насамперед, нетривалістю спостережень у просторі та часі, найчастіше аналізують (для зіставлення з теоретичними) емпіричні моменти розподілу не вищі третього порядку, значно рідше – четвертого, зважаючи на помилки визначення таких моментів. По-друге, більш детальний розгляд впливу числових значень моментів на властивості та форму розподілу випадкової величини (через відповідні моментам узагальнювальні показники розподілу) буде наведено у наступному розділі разом з деяким супутнім цьому аналізом.

Запитання та завдання до розділу 3 для самоконтролю

1.Звідки запозичене поняття моментів?

2.Чим пояснюється розподіл моментів на "теоретичні" та "емпіричні"?

3.Назвіть всі види моментів розподілу випадкової величини.

4.Як визначаються довільні моменти розподілу дискретної випадкової величини?

5.Як можна графічно інтерпретувати довільний момент розподілу неперервної випадкової величини?

6.Чим відрізняються початкові та центральні моменти розподілу випадкової величини?

7.Яким чином можна подати початкові моменти розподілу через оператор математичного очікування?

8.Чи є математичне очікування єдиним показником центра розподілу?

9.Що таке зцентрована випадкова величина та чому дорівнює її імовірнісне середнє? Наведіть графічну інтерпретацію змісту цієї величини.

10.Яким чином можна пов'язати між собою центральні та початкові моменти розподілу?

11.Що таке дисперсія, стандарт і коефіцієнт варіації випадкової величини?

12.Якими бувають унормовані випадкові величини?

13.Покажіть графічно, до чого призводить застосування зцентрованої випадкової величини.

14.Чому центральний момент першого порядку довільної випадкової величини завжди дорівнює нулю?

15.Що таке коефіцієнт асиметрії та ексцес розподілу випадкової величини?

16.Для яких розподілів застосовують ексцес як показник?

17.Виведіть співвідношення між першими чотирма центральними та початковими моментами розподілу випадкової величини.

18.Чим є за змістом характеристична функція розподілу випадкової величини?

19.Якими є властивості характеристичної функції?

20.До якого порядку включно найчастіше застосовують емпіричні моменти розподілу у географії та чому?

Проблемні теми для рефератів

1. Унормована випадкова величина другого порядку.

2. Співвідношення між центральними та початковими моментами.

3. Характеристична функція розподілу.

Рекомендована література до розділу 3

1.Самойленко В.М. Ймовірнісні математичні методи в геоекології: Навчальний посібник (з грифом МОН України). – К.: Ніка-Центр, 2002. – С.69-83.

2.Самойленко В.М. Навчально-методичний комплекс з математично-модельного та геоінформаційного забезпечення підготовки географів. – К.: Ніка-Центр, 2003. – С.14, 26-27.

3.Самойленко В.М. Програма семінарсько-практичних занять з дисципліни "Математично-статистичні методи". – К.: Ніка-Центр, 2003. – С.5-6.

4.Общая теория статистики: Учебник / Т.В.Рябушкин, М.Р.Ефимова, И.М.Ипатова, Н.И.Яковлева. – М.: Финансы и статистика, 1981. – С.110-121.

90

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]