1. Використовуючи рефлексивність конгруентності і властивість 1, дістаємо

[а + b ≡ с (mod m) /\ – b ≡ – b (mod m)] => . [a ≡ c – b (mod m)].

5. До будь - якої частини конгруенції можна додати або відняти довільне ціле число, кратне модулю, тобто з конгруенції a ≡ b (mod m) випливає а + kт ≡ b (mod m) або a ≡ b + km (mod m).

Оскільки km ≡ 0 (mod m), то

[a ≡ b (mod m) /\ kт ≡ 0 (mod m)] => [a + kт ≡ b (mod m)],

або

[a ≡ b (mod m) /\ 0 ≡ km (mod m)] => [a ≡ b + km (mod m)],

що й треба було довести.

6. Конгруенції за одним модулем можна почленно перемножити.

Справді, [a₁ ≡ b₁ (mod m) /\ ... /\ a_k ≡ b_k(mod m) => [a₁ = b₁ + тt₁ /\ ... /\ a_k = b_k + mt_k] => [a₁ а₂ ... a_k = b₁b₂ ... b_k + mt] => [a₁a₂ ... a_k ≡ b₁b₂ ...b_k (mod m)], де записом тt позначено суму всіх доданків із спільним множником т в добутку (b₁ + mt₁) ... _∙ (b_k + тt_k). Властивість доведено.

Наслідок. Конгруенцію можна піднести до будь - якого натурального степеня п.

Справді, з властивості 6 при умові, а₁ = а₂ = ... = а_k = а, b₁ = b₂ = … = b_k = b випливає, що

аⁿ ≡ bⁿ (mod m).

7. Обидві частини конгруенції можна помножити на те саме ціле число, тобто при a ≡ b (mod m) і k цілому справедлива конгруенція ak ≡ bk (mod m).

Справді, на основі властивості 6 і рефлексивності конгруентності маємо [a ≡ b (mod m) /\ k ≡ k (mod m)] => [ak ≡ bk (mod m)].

8. Обидві частини конгруенції можна поділити на їх спільний дільник d, якщо він взаємно простий з модулем т. Справді, якщо d = (a, b), тобто a = a₁d, b = b₁d, то

[a ≡ b (mod m)] => [a = b + mt] => [a₁d = b₁d + mt] => [(а ₁ – b₁)d = mt].

Права частина рівності ділиться на т. Тому на т ділиться і ліва частина. Оскільки (m, d) = 1, то (a₁ – b₁) ділиться на m, тобто a₁ – b₁ = ms і а₁ = b₁ + ms. Отже, a₁ ≡ b₁ (mod m), що й треба було довести.

9. Якщо у виразі

f(a₁, a₂, ... , a_k) = ∑ Aa₁ⁿ¹a₂ⁿ² ... a_k^nk

всі коефіцієнти А і числа а₁ а₂, ..., a_k замінити на конгруентні їм за модулем т коефіцієнти В і числа b₁ b₂, ..., b_k відповідно, то новий вираз

g(b₁, b₂, ..., b_k) = ∑ Bb₁ⁿ¹b₂ⁿ² ... b_n^nk

буде конгруентний за модулем m до заданого

f(a₁, a₂, ..., a_k) ≡ g(b₁b₂, ..., b_k) (mod m).

Справді, з конгруентності a_i ≡ b_i (mod m) при всіх i = 1, 2, ..., k випливає a_iⁿⁱ ≡ b_iⁿⁱ (mod m).

Враховуючи також, що A ≡ В (mod m), маємо за властивістю 6

Aa₁ⁿ¹a₂ⁿ² ... a_k^{nk ≡} Bb₁ⁿ¹b₂ⁿ² ... b_k^nk (mod m)

і далі за 1, додаючи всі аналогічні конгруенції, дістанемо

∑ Аа₁ⁿ¹а₂ⁿ² ... a_k^nk ≡ ∑Bb₁ⁿ¹b₂ⁿ² ... b_k^nk (mod m),

або

f(a₁, a₂, ..., a_k) ≡ g(b₁, b₂, ..., b_k) (mod m)

що й треба було довести.

Наслідок 1. Якщо a_i ≡ b_i (mod m), i = 1, 2, ..., k, то

f(a₁, a₂, ..., a_k) ≡ f(b₁, b₂, ..., b_k) (mod m).

Це окремий випадок теореми і доведення не потребує.

Наслідок 2. Якшр в многочлені з цілими коефіцієнтами

f(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + _{∙ ∙ ∙} + a₁x + a₀,( заданому на множині цілих чисел Z, всі коефіцієнти a, замінити коефіцієнтами b_i конгруентними з а_i за модулем т, то дістанемо многочлен

g(х) = b_nхⁿ + b_n–1х^n–1 + _{∙ ∙ ∙} + b₁x + b₀,

конгруентний з многочленом f(х), тобто

Справді, , тобто f(x) ≡ g(х) (mod m).

Наслідок 3. Якщо х ≡ у (mod m), то для многочлена (1) справедлива конгруенція

f(х) ≡ f(y) (mod m).

Це безпосередньо випливає з наслідку 1.

Розглянемо деякі приклади застосування теорії конгруенціі.

2. Довести, що n³ + 3n² + 2n ділиться на 6.

Розв'язання:

Якщо число ділиться на 6, то при діленні отримаємо остачі 0,1,2,3,4,5 і

тоді n ≡ 0(mod 6), …, n ≡ 5(mod 6).

Якщо n ≡ 0(mod 6), тог n³ + 3n² + 2n ≡ 0(mod 6).

n ≡ 1(mod 6), то n³ + 3n² + 2n ≡ 1 + 3 + 2(mod 6) і так далі.

3. Розв' ання рівнянь в цілих числах.

Розглянемо задачі, які зводяться до розв’язання рівнянь в цілих числах.

Приклад. Розв’язати рівняння в цілих числах

а) 7X–23Y = 131. Розв’язок:

Перевіримо умову d(7,23) = 1 і 131:1, то , задача на першому етапі зводиться до находження Y при якому , тоді 131 + 23Y  0(mod 7), тоді 131  –23(mod 7), 5  –2Y (mod 7) або –2–2Y(mod 7), тобто Y1(mod 7), отже Y = 7t + 1, а тепер на другому етапі 7X – 23(7t + 1) = 131,

7X = 154 + 23∙7t або X = 22 + 23t, де t – ціле число.

Відповідь: X = 22 + 23t, Y = 7t + 1, де t – ціле число.

б) 5X + 3Y = 14. Розв’язок: d(5,3) = 1 і 14:1; тоді 5X = 14–3Y, 3Y14(mod 5), 3Y4(mod 5), отже 3Y = 5t + 4, де t – ціле число. Тоді 5t + 40(mod 3), 2t–1(mod 3) або 2t2(mod 3), t = 3l + 1, де l – ціле число, но 5X = 13–3(5l + 3), то X = –3l + 1, де l – ціле число.

Відповідь:, де l – ціле число;