Міністерство освіти і науки України

ДЕПАРТАМЕНТ ОСВІТИ і НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ

ВИКОНАВЧОГО ОРГАНУ КИЇВСЬКОЇ міськОЇ РАДИ

(київської міської державної адміністрації)

КИЇВСЬКЕ ТЕРИТОРІАЛЬНЕ ВІДДІЛЕННЯ МАЛОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

(КИЇВСЬКА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК )

Відділення математики

секція Алгебра та початки аналізу

базова дисципліна математика

Теорія конгруенцій

РОБОТУ ВИКОНАВ:

слухач

Шелест Ілля Ігорович

2 серпня 1998 року

учень 9 класу

Політехнічного ліцею НТУУ «КПІ»

Солом’янського району

вул. Зодчих 18 кв. 31

276-42-71; 063-169-18-67

mrgreen55@yandex.ua

науковий керівник

Гладков Юрій Євгенович,

Вчитель математики

Політехнічного ліцею НТУУ «КПІ»

м. Києва, 0937169267

Педагогічний керівник

Вчитель математики вищої категорії

Політехнічного ліцею НТУУ «КПІ»

м. Києва, 0501628761

Київ – 2014 Зміст:

Вступ…………………………………………………………………………………………..……….3

Розділ 1

1. Основні поняття про теорію конгруенцій………………………………………...………4

2. Формулювання основних теорем та наслідків…………………………………….…....4

3. Розв' ання рівнянь в цілих числах…………………………………………………………...7

4. Розв'язування діафантових рівнянь за допомогою теорії конгруенцій ……...…...8

5. Застосування конгруенцїй до встановлення ознак подільності………………….9

6. Теорема Ферма……………………………………………………………………………….……12

7. Як ділити не ділячи?...................................................................................................................13

8. Порівняння з одним невідомим…………………………………………………..………….13

9. Властивості показників за модулем……………………………………………………….13

Висновки……………………………………………………………………………………………..16

Список використаної літератури…………………………………………….……………...17

Вступ:

Числа і фігури – це основні знаряддя, за допомогою яких математик пізнає світ. Числами людина цікавилась завжди, скільки вона себе пам'ятає.

Теорія чисел вивчає, в основному, арифметичні властивості чисел натурального ряду, або цілих додатніх чисел, і належить до найстаріших розділів математики.

Теорія конгруенцій становить важливий розділ теорії чисел. Їй приділяли увагу багато видатних математиків. Цікаво зазначити, що великий вчений П.Л. Чебишов присвятив теорії конгруенцій свою докторську дисертацію.

Спочатку сформулюємо деякі означення і властивості стосовно цілих чисел.

Розділ 1

1. Основні поняття про теорію конгруенцій

Означення 1. Числа а і b називаються конгруентними за модулем т, якщо остачі при діленні їх на число т рівні між собою, тобто a = mq + r, b = mq₁ +rі0r<т. Записують це так:

a ≡ b (mod m).

Якщо розглядається кілька чисел, конгруентних між собою за тим самим модулем, то роблять такий запис:

a ≡ b ≡ c ≡ d (mod m), наприклад, 2 ≡ 5 ≡ 8 (mod 3).

1.2.Формулювання основних теорем та наслідків.

Теорема 1. Для того щоб числа а і b були конгруентні за модулем m, необхідно і достатньо, щоб різниця а – b ділилася на т, або що те ж саме, a = b + тt, де t – довільне ціле число.

Доведення. Необхідність.

[a ≡ b (mod m)] => [а = тq + r /\ b = тq₁ + r] => [a – b = т (q – q₁)], тобто (a – b) ділиться на т, а позначаючи q – q₁ = t, дістанемо a = b + тt.

Достатність.

[(a – b) ділиться на т /\ a = тq + r] => (a = b + тt /\ a = mq + r] => [b = m(q – t) + r] => [b = тq₁ + r].

Отже, число b, як і число a, при діленні на т має остачу, рівну r, тобто a ≡ b (mod m). У зв'язку з тим, що конгруенції за теоремою 1 тісно пов'язані з рівностями, вони мають багато властивостей, аналогічних властивостям рівностей. Властивості конгруенцій можна умовно поділити на дві групи: властивості при незмінному модулі і властивості при змінному модулі.

Розглянемо спочатку конгруенції при незмінному модулі.

1. Конгруенції за тим самим модулем можна почленно додавати.

Справді, [a₁ ≡ b₁ (mod m) /\ ... /\ a_k ≡ b_k (mod m)] => [а₁ = b₁ + mt₁ /\ ... /\ а_k = b_k + тt_k] => [а₁ + ... + а_k = = (b₁ + ... + b_k) + т (t₁ + ... + t_k)] => [a₁ + ... + а_k ≡ b₁ + ... + b_k (mod m)].

2. Конгруенції за тим самим модулем можна почленно віднімати. Справді, [а₁ ≡ b₁ (mod m) /\ a₂ ≡ ≡ b₂(mod m)] => [a₁ = b₁ + тt₁ /\ a₂ = b₂ + тt₂] => [a₁ – a₂ = b₂ – b₂ + m(t₁ – t₂)] => [a₁ – a₂ ≡ b₁ – b₂ (mod m)].

3. До обох частин конгруенції можна додати будь - яке ціле число, тобто з конгруенції a ≡ b (mod m) випливає а + c ≡ b + c (mod m), де c – довільне ціле число).

Справді, на основі рефлексивності конгруентності число c конгруентне з самим собою за будь - яким модулем, у тому числі і за модулем т. Тому, використовуючи властивість 1, маємо

[a ≡ b (mod m) /\ с ≡ с (mod т)] => [a + с ≡ b + с (mod m)].

4. З однієї частини конгруенції до другої її частини можна переносити доданок з протилежним знаком, тобто з а + b ≡ с (mod m) випливає а ≡ – b (mod m).