математика / Мет_ряды
.pdf1.Знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, поэтому к нему тоже можно применить признак сходимости знакопеременного ряда.
2.При исследовании знакопеременных рядов возможны три случая:
a)ряд сходится абсолютно (достаточно доказать сходимость ряда из абсолютных величин членов данного ряда);
b)ряд сходится условно (доказать сходимость самого ряда по признаку Лейбница и расходимость ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда);
c)ряд расходится (по необходимому признаку сходимости).
Пример.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:
|
|
sin |
n |
|
|
|
n 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|||
a) |
|
n 2 |
|
|
; б) |
|
( 1) |
|
|
|
|
; в) |
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
3 |
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||
г) |
|
n |
; д) sin |
n |
; е) |
|
|
; ж) |
|
( 1) |
n |
|
||||||||||||
( 1) |
|
|
( 1) |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
5n 2 |
3 |
ln |
|
n |
|
n! |
|||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
n 1 |
|
|
n 2 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
sin |
|
n |
- знакопеременный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n 1 |
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
|
sin n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n 1 |
n 2 |
Применим признак сравнения: sin n 1 ;
21
(1) |
|
|
sin n |
|
|
≤ |
1 |
(2). |
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
n 2 |
|
|
n2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. ряд (2) |
|
1 |
- обобщенно-гармонический, α = 2 > 1 - сходится, то по |
|
|||
|
n 1 n2 |
|
признаку сравнения из сходимости ряда (2) следует сходимость исходного ряда
(1).
Т.о., ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится, поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
Решение:
|
|
(-1) n 1 |
1 |
|
|
б) |
|
|
- знакочередующийся. |
||
|
|
||||
|
n 1 |
|
3 |
n |
1. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
- обобщенно-гармонический с α = ⅓ < 1, расходится. |
|
|
1 |
|
||||
n 1 |
3 n |
|
n 1 n |
3 |
|
Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится.
2. Применим к исходному ряду признак Лейбница. Проверим оба условия признака Лейбница.
1) an |
= |
|
1 |
|
> an 1 |
= |
1 |
- члены ряда убывают по абсолютной |
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
n |
|
3 n 1 |
|
величине
2) lim an = |
lim |
|
1 |
|
= |
1 |
= 0 |
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
||||
n |
n |
|
n |
|
|
Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому исходный ряд сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
22
Решение:
|
|
|
2n 1 |
n |
||
|
|
|||||
в) |
1 n |
|
|
- знакочередующийся. |
||
3n 2 |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
|
|
2n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
3n 2 |
||||
n 1 |
|
|
Т. к. общий член содержит n-ную степень, то применим признак Коши:
|
|
|
2 n 1 n |
|
2 n |
|
|||
lim n an |
= lim n |
|
|
= lim |
|
= |
|
||
3 n 2 |
3n 2 |
||||||||
n |
n |
|
|
n |
|
|
В результате деления числителя и знаменателя на n получаем
lim |
2 |
|
|
= |
2 |
< 1. |
3 |
2 |
|
3 |
|||
n |
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, сходится по признаку Коши. Т. о., исходный ряд сходится абсолютно.
Решение:
|
( 1)n |
|
|
|
в) |
n |
- знакочередующийся. |
||
5n 2 |
||||
n 1 |
|
|
Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim a |
n |
= |
lim ( 1)n |
n |
= |
|
|
1 |
(в зависимости от |
||
5n 2 |
5 |
||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
четности или нечетности n), а для существования предела необходимо, чтобы его значение было единственно.
Решение:
г) sin n - знакопеременный. n 1 3
23
Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim an |
= lim sin n3 не существует. |
||||
|
n |
|
|
n |
|
Решение: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
д) |
(-1) n |
1 |
|
- знакочередующийся. |
|
ln n |
|||||
n 2 |
|
|
1.Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
1 |
|
- используем признак сравнения и сравним с гармоническим |
||||||||
ln |
n |
|||||||||||
|
n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходящимся рядом (1) |
|
1 |
: (1) |
1 |
|
1 |
(2), т. к. функция y=x возрастает |
|||||
n |
n |
ln n |
||||||||||
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
быстрее функции y=ln x, поэтому из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2) по призраку сравнения. Следовательно, ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда, расходится.
2. Применим к исходному ряду признак Лейбница. Проверим оба условия признака Лейбница.
1) an = |
1 |
> an 1 = |
|
|
1 |
|
|
- члены ряда убывают по абсолютной величине |
||||
|
n |
|
ln n |
|
||||||||
2) lim |
a |
|
= lim |
|
1 |
|
= |
1 |
= 0 |
|||
n |
ln |
|
|
n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому исходный ряд сходится по признаку Лейбница.
Таким образом, исходный ряд сходится условно.
Решение:
|
( 1)n |
n |
|
|
е) |
n |
- знакочередующийся. |
||
n! |
||||
n 1 |
|
|
24
Данный ряд расходится, т.к. для него не выполняется необходимый признак
сходимости: lim |
a |
n |
= lim ( 1) |
n nn |
= lim ( 1) |
n n |
n n ... n |
- числитель |
|
n! |
1 2 3 ... n |
||||||||
n |
|
n |
n |
|
больше знаменателя, поэтому ответом будет служить в зависимости от
четности и нечетности n.
25
§ 7. Степенные ряды
Определение.
Ряд u1 (x) u2 (x) ... un (x) ... = n 1 un (x) , членами которого является
функция, называется функциональным.
При одних значениях х ряд может сходиться, а при других расходится. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке х0 , если при х х0
он обращается в сходящийся числовой ряд; если же при х х0 получается расходящийся числовой ряд, то ряд называется расходящимся в точке х х0 .
Определение.
Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится,
называется областью сходимости функционального ряда.
Из всех функциональных рядов наиболее распространенными являются степенные ряды вида
с |
0 |
с |
x c |
2 |
x2 |
... c |
n |
xn |
..., |
(1) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где числа с0 ,с1 ,c2 ,...cn ,...- коэффициенты степенного ряда.
Cтруктура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля.
Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд сходится при значении х х0 ≠ 0, то он сходится,
причем абсолютно, при всех х, таких что x х0
2) Если степенной ряд расходится при значениях х х1 , то он расходится
при всех х, таких что x х1
26
Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R ≥ 0, что на интервале (-R, R) ряд сходится, а вне отрезка (-R , R) ряд расходится. Число R
называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал (-R , R) – интервалом сходимости степенного ряда.
Возможны случаи, когда R = 0, тогда ряд сходится только в точке х = 0, или R = ∞, тогда ряд сходится на всей числовой оси.
На концах интервала сходимости, т.е. при х = R, х = - R ряд может как сходиться, так и расходиться.
Теорема.
Если все коэффициенты степенного ряда (1) с0 с1 х с2 х2 .... сn xn ..., начиная с некоторого номера, отличаются от 0, то радиус сходимости равен
R = lim |
|
|
c n |
= |
lim |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c |
|
|
|
|
c |
|
|
||||
n |
|
n 1 |
|
n |
n |
n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения области сходимости необходимо:
1)Найти радиус сходимости R и интервал сходимости (-R , R)
2)Исследовать поведение ряда на границах интервала сходимости при х = R
их = -R (по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов и по достаточным признакам сходимости рядов с положительными членами).
Пример.
Найти область сходимости степенных рядов
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
3 n 2 |
x n 2 |
|
a) |
|
( 1)n 1 |
|
|
; b) |
|
( 1) n 1 n! x n |
; c) |
|
; |
||||
|
(2n)! |
|||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
(x 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d) |
|
( 1)n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 1 |
|
|
n2n |
|
|
|
|
|
|
|
27
|
|
|
xn |
|
|
a) |
|
( 1)n 1 |
|
||
(2n)! |
|||||
|
n 1 |
|
Решение:
Найдем радиус сходимости
c |
n |
( 1) n 1 |
1 |
; |
|
( 2 n )! |
|||||
|
|
|
cn 1 ( 1)n 2 (2n1 2)! ;
|
|
lim |
|
c n |
|
lim |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
(2n 2)! |
||
R = |
|
|
|
|
= |
|
|
: |
|
|
|
= |
|||||||
|
c |
|
|
(2n)! |
(2n |
2)! |
(2n)! |
||||||||||||
|
|
n |
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(2n)! 1 2 3... 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
(2n 2)! 1 |
2 3... 2n (2n 1)(2n 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
(2n 2)! (2n)!(2n 1)(2n 2) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
(2n 1)(2n |
2)(2n)! = |
lim (2n+1)(2n+2) = ∞ |
n |
(2n)! |
|
n |
|
|
Следовательно, R= ∞, поэтому ряд сходится на всей числовой прямой.
|
|
|
b) |
|
( 1) n 1 n! x n |
|
n 1 |
|
Решение:
Найдем радиус сходимости
cn |
( 1) n 1 n!; |
c n 1 |
( 1) n 2 ( n 1)! |
|
|||||||||||||||
R = |
lim |
|
|
|
c n |
|
= |
lim |
(n! :(n+1)!)= lim |
n! |
|
= |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
(n 1)! |
|||||||||||||
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
= lim |
|
|
lim |
|
|
= |
= 0 |
|
|
|
|||||||||
n!(n 1) |
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
28
Т.о. R = 0, при х=0 исходный ряд будет иметь вид 0 + 0 + 0 + 0 +……, откуда следует, что исходный ряд будет сходиться, только в одной точке х=0.
|
|
3 n 2 |
x n 2 |
c) |
|
||
|
n 1 |
|
Решение:
К данному ряду нельзя применять формулу для нахождения R, т.к. исходный
ряд не является рядом вида (1) (содержит xn 2 |
, а не xn ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Необходимо применить признак Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
lim |
n |
|
u n |
|
= lim |
n |
3 |
n 2 |
|
x |
|
n 2 |
= |
lim 3 n |
|
x |
|
n |
|
l |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Этот предел будет меньше единицы при тех х, для которых выполняется |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство 3 n |
|
x |
|
n 1 , т.е. при |
|
x |
|
|
|
1 или |
|
|
1 |
x |
|
1 |
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
т.е. интервал сходимости |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1) |
x |
1 |
: |
|
3 n |
2 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1= 1 + 1 + 1 +… n 1
Данный ряд расходится по необходимому признаку, т.к.
an |
= lim 1 ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
2) |
x |
1 |
: |
|
3 n |
2 |
|
1 |
|
= |
|
1 n |
2 |
- ряд расходится по |
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
необходимому признаку, т. к. предел общего члена не существует (может принимать два значения 1,в зависимости от четности и нечетности n), а для существования предела необходимо, чтобы его значение было единственно.
29
|
|
1 |
, |
1 |
|
т.о. область сходимости имеет вид |
3 |
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)n |
|
d) |
|
( 1)n |
||
n2n |
||||
|
n 1 |
|
Решение:
К данному ряду нельзя применить формулу для нахождения радиуса сходимости R, т.к. исходный ряд не является рядом вида (1) (содержит (x 1)n , а
не xn )
Воспользуемся признаком Даламбера
u |
|
( 1) n |
|
( x 1) n |
|
|
n |
|
|
n |
|||
|
|
|
|
n 2 |
||
u n 1 ( 1) |
n 1 |
( x 1) n 1 |
||||
|
|
|
n 1 |
|||
|
|
|
|
|
( n 1) 2 |
|
un 1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
n 1 |
||
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
= lim |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
||
|
|
|
|
|
||||||
u |
|
|
|
|
n 1 |
|||||
n |
n |
|
n |
|
(n 1)2 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x 1n n2n =
lim |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
n 1 n 2 n |
|
|
lim |
1 |
|
x 1 |
|
|
n |
= |
1 |
|
x 1 |
|
lim |
n |
|
= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
2 |
|
|
|
n 1 |
2 |
|
|
n 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
|
|
x |
1 |
n ( n 1) 2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||
= |
|
= |
1 |
|
|
x 1 |
|
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим, при каких х значение предела будет меньше единицы:
|
|
x 1 |
|
|
1 |
|
x 1 |
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
-2 < x+1 < 2 |
|
-3 < x < 1 - интервал сходимости. |
Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости:
30