Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика / Мет_ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.03.2015

Размер:

293.01 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>


в) sin	1
n 1	n
Решениe:
		sin	1
Как известно, lim		sin	n	= 0	= 1 ≠ 0 ≠ ∞, но гармонический ряд		1
Как известно, lim		1		= 0	= 1 ≠ 0 ≠ ∞, но гармонический ряд		n
	n	1		0		n 1	n
		n

расходится. Следовательно, исходный ряд расходится по предельному признаку сравнения.

§ 4.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши

1. Теорема. Признак Коши.

Если для ряда с положительными членами n 1 an существует если

a)l < 1, ряд сходится ;

b)l > 1, ряд расходится ;

c)l = 1, то вопрос о поведении ряда остается открытым.

Замечание.

lim n an = l , то

Признак Коши удобно применять, если общий член содержит n- ную степень.

Пример1.

С помощью признака Коши исследовать сходимость рядов

n 2

; б)

; в) sin n

4n 1

2 n

n 1

		n	n
a)

		4n 1
	n 1

Решение:

			n	n		n
lim n a	n	= lim n			= lim		=
			4 n 1			4 n 1
n		n			n

В результате деления числителя и знаменателя на n получаем

lim	1		= 14 < 1.
lim	4	1	= 14 < 1.
n
n		n

Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.

		1		n		n 2
б)
б)		2 n	n		1
	n 1	2 n	n		1

Решение:

lim n a

= lim

n 1

lim

= = 1

lim

< 1.

n 1

Следовательно, ряд сходится по признаку Коши.

в) sin

2 n

n 1

Решение:

lim n an

= lim n sin n

lim

sin

= sin 0 = 0 < 1, т. к. при

2 n

n аргумент синуса

0 . Следовательно, ряд сходится по признаку

Коши.

2. Теорема. Признак Даламбера.

Если для ряда с положительными членами n 1 an существует предел

lim	a n 1	l , то если
	a n
n

a)l < 1, ряд сходится

b)l > 1, ряд расходится

c)l = 1, вопрос о поведении ряда остается открытым.

Замечание.

Признак Даламбера удобно применять, если общий член содержит факториал и (или) n -ную степень.

Замечание. Известно, что n! 1 2 3 ... n ; (n+1)!=(n+1)n!

Пример2.

С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов

	n
a)	3	; б)
n 1	n!	n 1

2 n n !		3n n!
	; в)		.

( n 1 )!	n 1	nn

n 1

Решение:

, a

n 1

3n 1

, поэтому

(n 1)!

lim

an 1

lim

3 n 1

3 n

= lim

3 n 1 n !

( n 1)

3 n ( n 1 )!

= lim	3 n!	= lim	3	=	3	= 0 < 1
	(n 1) n!		n 1
n		n

Следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.

б)

( n 1)!

n 1

Решение:

Здесь a

2n n!

n 1

2n 1

(n 1)!, поэтому

(n 1)!

(n 2)!

lim

an 1

lim

2 n 1

( n 1)!

( n 2 )!

1)!

= lim

2 n 1 ( n 1 )! ( n 1 )!

2 n ( n 2 )! n !

Известно, что (n+1)! = (n+1)n! и, соответственно, (n+2)! = (n+2)(n+1)!, поэто-

му

2 lim

(n 1)!

(n 1)n!

lim

(n 2)(n 1)!

	1	1
=2 lim		n	= 2 > 1

	1	2
n
		n

Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.

в) 3n n!

n 1 nn

Решение:

Здесь a		=	3n	n!	, a		=	3n (n 1)!	, поэтому
	n		3n			n 1		(n 1)n 1

lim

an 1

lim

3n (n 1)!

3n n!

lim

1 ( n 1 )! n

(n 1)n 1

n ! ( n 1 ) n 1

=3 lim

( n 1) n!

n n

= 3 lim

( n

1) n n

( n 1 ) n 1

=3 lim

= 3 lim

= 1 =

( n

1) n 1

n 1

=3 lim

= 3 1 > 1.

Следовательно, ряд расходится по признаку Даламбера.

§ 4.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Интегральный признак сходимости

Теорема. Если функция f (x) непрерывная, положительная, невозрастающая

для х	≥ a	и начиная с некоторого		номера N,	an = f	(n), то ряд

a1 a2	a3	... an	... an и
a1 a2	a3	... an	... an и	несобственный	интеграл	f ( x ) dx
			n 1			1

одновременно сходятся или расходятся.

Пример.

Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходимость ряд


а) обобщенно-гармонический ряд		1	; б)		1		;
а) обобщенно-гармонический ряд			; б)				;
	n 1 n			n 1	(n 1)ln	2 (n 1)


в)	arctg n .
	n 1		1 n2

а) обобщенно-гармонический ряд																		1
а) обобщенно-гармонический ряд
															n 1 n
Решение:
																		dx
Рассмотрим несобственный интеграл
Рассмотрим несобственный интеграл
																		1 x
					x		1					при							1,
					x
					1
	dx				1
	dx

	x
	x			ln				x		при							1,



1)			dx								b1			1				1					b1		1
	α > 1:							= lim					-				=				-	lim		=
	α > 1:							= lim			1		-	1			=			1	-	lim	1	=	1
		1		x					b		1			1						1		b	1		1
(при α > 1 и b→ ∞ выражение b1																	0)
				dx							1			1
2)	α < 1:			dx				= lim			b		-	1			= ∞
2)	α < 1:							= lim		1			-	1			= ∞
		1		x					b	1				1
(при α < 1 и b→+ ∞ выражение b1 + ∞)
3)			dx		=			lim ( ln b ln1) = ln(+ ∞) = + ∞
3)	α =1:			x	=			lim ( ln b ln1) = ln(+ ∞) = + ∞
		1		x				b
		1						b
												1,					сходится
			dx					,				1,					сходится
Т.о,			dx			=
Т.о,						=
	1		x						1	,		1,				расходится
	1		x							,		1,				расходится
								1

На основании интегрального признака, заключаем, что ряд

	1		1,	сходится
	1	при
			1,	расходится
	n
n 1	n


	1
б)	n 1
		(n 1)ln2 (n 1)

Решение:

Рассмотрим несобственный интеграл

	dx		= lim	dx

	2	(x 1)		(x 1) ln	2	(x 1)
1	(x 1)ln		b

Вычислим отдельно неопределенный интеграл постановкой:

ln(

x 1 )

(x 1)ln2 (x 1)

t 2 dt

c ;

ln( x 1)

lim

( x 1) ln

( x

ln(x 1)

lim

ln(b 1)

ln 2

ln( )

ln 2

ln 2 ln 2

Следовательно, несобственный интеграл сходится, поэтому исходный ряд сходится по интегральному признаку.


в)	arctg n
	n 1	1 n2

Решение:

Рассмотрим несобственный интеграл

	arctgxdx		= lim	arctgxdx
	1 x	2		1 x	2
1			b 1

Вычислим неопределенный интеграл отдельно, подстановкой:


∫		arctgxdx		=	t	arctgx							= t dt		=		t 2				c				( arctgx			)	2	c ;
					t	arctgx
											dx
		1 x2			dt						dx								2							2
		1 x2			dt				1 x 2										2							2
									1 x 2
				arctgxdx						= lim				(arctgx)2		b					lim	(	(arctg b) 2					(arctg 1) 2			) =
				arctgxdx										(arctgx)2		b							(arctg b) 2					(arctg 1) 2
		lim		1 x			2							2		1										2			2
b 1				1 x							b			2		1				b						2			2
b 1											b			2				2		b				2
														2				2						2			2		2
	( arctg		(			))		2							2							4					4		16		3	2
	( arctg		(			))						4			2							4					4		16		3	.
			2								2				2								2					2			32	.
			2								2				2								2					2			32

Cледовательно, несобственный интеграл сходится, и исходный ряд также сходится по интегральному признаку.

§5. Ряды с членами произвольного знака

§5. 1. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница

Определение.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

a1 a2 a3 ... ( 1)n 1 an ..., где an > 0.

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости

Теорема. Признак Лейбница.

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине

a1 a2

...

... и предел его общего члена равен 0

lim an 0 , то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена.

Замечание.

Применение сходящихся рядов к приближенным вычислениям основано на замене суммы ряда суммой нескольких первых его членов. Допускаемая при этом погрешность очень просто оценивается для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, - эта погрешность меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов ряда.

Пример.


Исследовать на сходимость ряд							( 1) n 1	1	. Найти с точностью
Исследовать на сходимость ряд							( 1) n 1	( 2 n ) 3	. Найти с точностью
					n 1			( 2 n ) 3
0,01 сумму этого ряда.
Решение:
1				1
1. an =		> an 1	=			- члены ряда убывают по абсолютной
1. an =	( 2 n ) 3	> an 1	=	(2 n 2) 3		- члены ряда убывают по абсолютной

величине.

2. lim a	n	= lim	1		1	0 .
			( 2 n )	3
n		n

Так как оба условия признака Лейбница выполнены, то ряд сходится. Для того чтобы найти с точностью 0,01 сумму данного ряда, надо взять столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01,

тогда весь остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет также меньше 0,01.

a1	1	1	;	a 2	1	1	;	a 3	1	1	0.01
	2 3	8			4 3	64			6 3	216

Для данного ряда модель третьего члена < 0,01, поэтому с точностью 0,01 сумма ряда приближенно равна:

S = 213 413 18 641 647 0,11 0,01 .

§5.2. Aбсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда

Определение.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеется как положительные, так и отрицательные числа.

Определение.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится

ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда n 1 an .

Определение.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится.

Теорема. Признак сходимости знакопеременных рядов.

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, сходится, то знакопеременный ряд также сходится, причем абсолютно.

Замечание.

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке математика

#
19.03.201514.29 Кб11Вопр КТО 4 сем.docx
#
19.03.2015588.36 Кб11КР С 3 сем.pdf
#
19.03.2015293.01 Кб11Мет_ряды.pdf