Поиск эффективных точек

Пусть U– компактное множество, аg¹,…,g^m– непрерывные функции,gⁱ:U.

Теорема (Гермейер).Пустьx₀– эффективная точка, причемgⁱ(x₀)>0 для всехi=1,…,m. Тогда существуют положительные числа₁,…_mтакие, чтоиx₀является точкой максимума функции.

Доказательство.ПоложимТогда

Пусть u– любая точка. Так как точкаu₀– эффективна, найдется номерi, для которого gⁱ(u)gⁱ(u₀), или, что то же самое,_igⁱ(u)1. Значит,а это означает, чтоu₀– одна из точек максимума функции.

Остается положить и заметить, что тогдаu₀– одна из точек максимума функцииF(u). Теорема доказана.

К сожалению, нельзя утверждать, что всякая точка максимума функции будет эффективной точкой многокритериальной задачи. ПустьU– компактное множество, аg¹,…,g^m– непрерывные функции,gⁱ:U.

Теорема (Гермейер).Пустьu₀– эффективная точка, причемgⁱ(u₀)>0 для всехi=1,…,m. Тогда существуют положительные числа₁,…_mтакие, чтоиx₀является точкой максимума функции.

Доказательство.ПоложимТогда

Пусть u– любая точка. Так как точкаu₀– эффективна, найдется номерi, для которого gⁱ(u)gⁱ(u₀), или, что то же самое,_igⁱ(u)1. Значит,а это означает, чтоu₀– одна из точек максимума функции.

Остается положить и заметить, что тогдаu₀– одна из точек максимума функцииF(u). Теорема доказана.

К сожалению, нельзя утверждать, что всякая точка максимума функции будет эффективной точкой многокритериальной задачи.

Пример. ПустьU={(u₁,u₂): 0u₁1, 0u₂1}, g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂. Приточки максимума функцииобразуют отрезок {(u₁,u₂):u₁=1, 0.5u₂1}, но только одна его точка (1,1) является эффективной.

Теорема. Пусть существуют такие положительные числа₁,…_m, чтоиx₀является точкой максимума функции. Тогда точкаx₀является слабо эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Тогда найдется такая точкаu₁, чтоgⁱ(u₁)>gⁱ(u₀) для всехi=1,…,m. Но тогдаF(u₁)>F(u₀), что противоречит условию.

Пусть теперь множество Uвыпукло, а функцииg¹,…,g^mвогнуты.

Теорема (Карлин). Пустьx₀– эффективная точка. Тогда существуют неотрицательные числаp₁,…,p _mтакие, чтоиx₀является точкой максимума функции.

Доказательство.Не ограничивая общности, можем считать, чтоgⁱ(u)>0 для всехi=1,…,m. В силу теоремы Гермейера существуют положительные числа₁,…_mдля которыхu₀реализует максимум функции.

Тогда (u₀,F(u₀)) является решением задачи математического программирования

,

uU, w.

В силу теоремы Куна–Такера найдутся такие неотрицательные числа _i,i=1,…,m, для которых (u₀,F(u₀)) будет точкой максимума функции

на множестве U. Но это возможно, только если

, (*)

а тогда u₀является точкой максимума функции.

Остается заметить, что в силу равенства (*), по крайней мере, одно _iне равно нулю. А тогда мы можем положить.

Теорема.Пусть существуют положительные числаp₁,…,p _mтакие, чтоиu₀является точкой максимума функции. Тогда точкаu₀является эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Тогда найдется такая точкаu₁, чтоgⁱ(u₁)gⁱ(u₀) для всехi=1,…,m, причем, по крайней мере, одно из этих неравенств не обращается в равенство. Умножая эти неравенства наp_iи суммируя, получим неравенство(u₁)>(u₀), что противоречит условию.

Нельзя утверждать, что всякая эффективная точка может быть найдена в результате максимизации функции с положительными коэффициентамиp₁,…,p _m.

Пример.Пусть,g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂.Максимум функциидостигается в точке. В то же время, точка (1,0) является эффективной.

С другой стороны, при неотрицательных коэффициентах p₁,…,p_m, точка максимума функцииможет быть неэффективной в многокритериальной задаче.

Пример.ПустьU={(u₁,u₂): 0u₁1, 0u₂1}, g¹(u)=u₁,g²(u)=u₂. Точки максимума функции(u)=1g¹(u)+0g²(u) образуют отрезок {(u₁,u₂):u₁=1, 0u₂1}, а эффективной является только одна точка (1,1) этого отрезка.

Теорема.Пусть существуют неотрицательные числаp₁,…,p _mтакие, чтоиu₀является точкой максимума функции. Тогда точкаu₀является слабо эффективной.

Доказательство.Допустим противное. Тогда найдется такая точкаu₁, чтоgⁱ(u₁)>gⁱ(u₀) для всехi=1,…,m. Умножая эти неравенства наp_iи суммируя, получим неравенство(u₁)>(u₀), что противоречит условию.

Пример

Подставим крайние точки единичного треугольника трехмерного пространства

( (0,0,1) (0,1,0),(1,0,0) ) в систему уравнений , затем полученные значенияподставим в М и получим 3 прямы

М

Р

Max значение достигается при пересечении прямых 4-3Р и 6р+1, следовательно приравняв их найдет оптимальное значение р

4-3р=6р+1 → р =→

При (1,0,0) М =

При (0,1,0) М = 3

Значение М в точке (0,1,0) является максимальным и оптимальным по Парето

Примеры

Пример.Пусть множествоUпредставляет собой стандартный симплексU={(u₁,u₂,u₃):u₁0,u₂0,u₃0,u₁+u₂+u₃=1} и имеется два критерияg¹(u)=2u₁+7u₂+u₃иg²(u)=3u₁+u₂+4u₃.

Найдем точки максимума функции (u)=pg¹(u)+(1–p)g²(u). Так как критерии в данной задаче линейны, а максимум линейной функции непременно достигается в одной из вершин, то. Нарисовав графики, нетрудно понять, что при 0p1/3 максимум достигается в вершине (0,1,0), а при 1/3p1 он достигается в вершине (0,0,1). Приp=1/3 точки максимума заполняют все ребро, соединяющие эти вершины. Таким образом, все точки этого ребра являются эффективными.

Пример.Пусть множествоUпредставляет собой стандартный симплексU={(u₁,u₂,u₃):u₁0,u₂0,u₃0,u₁+u₂+u₃=1} и имеется два критерияg¹(u)=3u₁+7u₂+u₃иg²(u)=4u₁+u₂+4u₃.

Анализ, аналогичный проведенному выше, показывает, что в данном случае эффективными являются все точки, лежащие на двух ребрах: соединяющем вершину (1,0,0) с вершиной (0,1,0) и соединяющем вершины (1,0,0) и (0,0,1). В этом случае множество эффективных точек не выпукло.

В двух предыдущих примерах полезно нарисовать образ множества Uв пространстве критериев.

Пример: дуополия Курно.Две фирмы выпускают однородный товар и продают его на рынке. Цена, складывающаяся на рынке, линейно убывает с ростом суммарного предложения:=a–b(u₁+u₂), гдеu₁иu₂объемы выпуска продукции первой и второй фирмой соответственно (по своему смыслу величиныu₁иu₂неотрицательны). Пусть затраты первой и второй фирм на выпуск единицы продукции равныc₁иc₂, а их цели состоят в максимизации прибылейg¹(u₁,u₂)=u₁–c₁u₁иg²(u₁,u₂)=u₂–c₂u₂. Найдем эффективные точки в этой двухкритериальной задаче.

Для этого найдем максимум функции (u₁,u₂)=p(u₁,u₂)+i(1–p) g²(u₁,u₂)=u₂–c₂u₂. Имеем. При фиксированном управлении одной фирмы эта функция представляет собой квадратный трехчлен относительно управления другой фирмы с отрицательным старшим коэффициентом. Поэтому, максимум этой функции достигается в критической точке тогда и только тогда, когда последняя лежит внутри областиu₁0,u₂0. В противном случае максимум находится на границе этой области.

Критическая точка есть решение системы уравнений

Решая эту систему относительно u₁иu₂, получим параметрическое представление

множества эффективных точек.¹

Исключив же из этой системы параметр p, получим уравнение

2(u₁+u₂)²–(d₁+2d₂)u₁–(d₂+2d₁)u₂–d₁d₂=0

множества эффективных точек. Нетрудно видеть, что это уравнение параболы с осью, являющейся биссектрисой координатных углов. Пересечение этой параболы с неотрицательным квадрантом и дает множество эффективных точек². Поскольку это множество пересекается с любым лучом, выходящим из начала координат и лежащим в неотрицательном квадранте, других эффективных точек н

Литература

1. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

2. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

3. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.