Производственные функции. Агрегирование и дезагрегирование

Производственные функции отражают зависимость результатов производства от объема затрачиваемых ресурсов и фактически представляют собой упрощенную экономико-математическую модель производства.

На примере двухфакторной модели (число агрегированных видов ресурсов равно двум) приведем наиболее часто встречающиеся на практике виды производственных функций (ПФ).

Итак, пусть x₁ и x₂ – объемы затраченных ресурсов, Р – результат производства (объем произведенной продукции).

Линейная ПФ:

Р=а₁ х₁+а₂х₂ ,

где а₁ и а₂ – коэффициенты эффективности используемых ресурсов.

Линейные ПФ используются при анализе крупномасштабных систем (отрасль, народное хозяйство в целом). При этом используются агрегированные коэффициенты эффективности.

Кроме того, линейные ПФ могут использоваться и в нелинейном варианте при сравнительно небольших изменениях объемов затрачиваемых ресурсов, что позволяет использовать линейную аппроксимацию изначально нелинейных ПФ.

ПФ с фиксированными пропорциями факторов

Р=min ,.

Такие ПФ используются для моделирования производственных систем, в которых используются технологии с жестко фиксированными нормами затрат ресурсов. Например, при сборке одного автомобиля необходимо наличие одного двигателя (х₁) и четырех колес (х₂), при этом а₁=1, а₂=4 – отражают пропорции объемов затрачиваемых ресурсов (комплектующих – двигателей и колес). В таких производствах ресурсы не могут заменять друг друга.

ПФ Аллена:

Р=а₀х₁х₂-а₁х₁²-а₂х₂²

Имеет вид параболы по каждому виду ресурсов. Такие ПФ используются для моделирования производственных процессов, в которых неограниченный рост любого из факторов приводит к уменьшению объема выпуска.

Примером такого производства может служить производство сельскохозяйственной продукции, объем которого именно так зависит от объема полива и используемых удобрений.

ПФ Кобба-Дугласа:

Р=а₀ .

В этой модели коэффициенты а₁>0 и а₂>0 являются коэффициентами эластичности по соответствующему виду ресурсов.

При этом, как правило, считается, что

а₁+а₂=1,

то есть эта ПФ является линейно однородной, следовательно, характеризуется постоянной отдачей при изменении масштабов производства.

Число видов ПФ, используемых различными исследователями в различных ситуациях великое множество. Мы привели наиболее интересные, которые будут изучаться далее.

Вернемся к понятию ПФ, как экономико-математической модели. Как всегда, при построении такой модели возникает вопрос точности и подробности описания. Ответ на этот вопрос имеет качественный характер – точность описания должна быть согласована с возможностью анализа модели и ясностью получаемых рекомендаций.

Отметим также некоторые полученные свойства моделей, связанных с агрегированием.

Агрегирование

Пусть производственная система (объединение) состоит из n различных по технологии производств, производственные функции которых имеют вид (см. лекцию 2):

Р_i=a_i, i=.

Построим производственную функцию объединения

Р=Ф(Х), Эта функция должна описывать оптимальную (!) зависимость максимально возможного суммарного объема произведенной продукции от суммарного объема затрачиваемых ресурсов.

Таким образом, построение этой ПФ тесно связано с решением следующей задачи оптимизации распределения ресурсов по технологиям:

P_i=a_i, x_i0, i=,

Как было показано выше, решение этой задачи имеет вид:

Соответственно

P_i=a_i=

Отсюда следует, что

Обозначим

Окончательно получим (агрегированную) ПФ объединения

P=A,

Где А- коэффициент экономической эффективности затрат ресурсов для всего объединения.

Для иллюстрации приведем числовой пример.

Пусть n=2, a₁=3,a₂=4.

Тогда А=

Значит Р=5.

Заметим, что в этом примере, как и в общем случае анализируемой ПФ имеем:

То есть при оптимальном распределении ресурсов «осредненная» по объединению технология эффективнее самой эффективной технологии.

Таким образом, ПФ выражает зависимость произведенной продукции от объема затрачиваемых ресурсов при оптимальном их использовании как в технологическом, так и в экономическом смысле.