Иерархическая игра (игра Гермейера)

Иерархическая игра определяется следующими правилами (предполагается, что игрок 1 – начальник, игрок 2 – подчиненный):

1. Игрок 1 знает все параметры модели игрока 2, то есть множество и функцию выигрыша.

2. Игрок 1 делает свой ход первым, то есть выбирает стратегию и сообщает информацию о ней игроку 2.

3. Игрок 2 при известной ему стратегии выбирает, то есть максимизирует свой критерий.

4. При наличии неопределенных факторов (в данном случае – неоднозначного выбора 2-го игрока из множества ) игрок 1 действует исходя из ОП МГР (4), а в случае доброжелательности игрока 2 в соответствии с (6).

На основании этих предположений в зависимости от информации о выборах 2-го игрока, которую игрок 1 имеет или ожидает иметь, формулируются разные игры. Рассмотрим их.

1. Игра . В этой игре: , то есть ни один из игроков заранее не знает о выборе другого. Здесь игрок 1 выбираети сообщает об этом игроку 2, а он в свою очередь выбирает(множество точек, которое доставляет максимум функции)

Тогда в этой игре МГР 1-го игрока:

- оптимальное управление (стратегия), определяемая условием:

В случае доброжелательности игрока 2 МГР игрока 1 равен

,

а оптимальная стратегия определяется из условия

Можно «стимулировать» доброжелательность, используя побочный платеж . В этом случае, функция выигрыша игрока 2 примет вид:

Аналогичный прием можно использовать в играх и (смотри далее).

2. Игра . В этой игре , то есть игрок 1 перед выбором своей стратегии будет знать выбор игрока 2. Таким образом, стратегия 1-го игрока выглядитследующим образом:

3. Игра . В этой игре , то есть игрок 2 перед выборомзнает. Стратегия 2-го игрока:

Однако первый игрок знает правило поведения 2-го () и поэтому его стратегия будет такой:

Замечание 5.

В играх и оптимальный выигрыш 1-го игрока определяется формулой (4). Таким образом, решение игр и сводится к вариационным и более сложным задачам. Однако далее мы конструктивно определим решение этих игр на исходном множестве управлений.

Замечание 6.

Можно рассматривать игры ,,.... Но оказывается, что ситуация 4 сводится к ситуации 2, ситуация 5 сводится к ситуации 3, а ситуация 6 сводится к ситуации 4 и т.д., то есть;

Из этого следует, что просчет вариантов действий в глубину не следует делать больше трех, дальше все повторяется.

Экономическая интерпретация иерархических игр г1, г2и г3

Игра . Эта игра моделирует процесс управления ценами на произведенную продукцию и затрачиваемые ресурсы:

где x – ресурс,

p(x) – продукция,

- цена на продукцию,

- цена на ресурс.

Пусть фиксирована.

Найти такую, чтобыло выгодно игроку 2.Из необходимого условия экстремума имеем:

Если , то

,

Игра . Эта игра моделирует процесс управления штрафами, поощрениями.

Опять пусть

«+» - премия, «-» - штраф, налог.

Тогда стимулирование выбора можно, например, произвести следующим образом (для определенности- штраф)

Игра . Эта игра моделирует процесс выдачи ресурсов, кредитования под обоснованную программу их использования

Пусть игрок 1 стимулирует реализацию ситуации . Тогда он должен стимулировать игрока 2 выбрать программуиспользования выделяемого ресурса:

где - произвольная функция.

Игроку 1 важно только, что выделяемый ресурс используется игроком 2 следующим образом. Поэтому оптимальная стратегия игрока 1 имеет вид

Как уже

Решение игр и сводится к вариационным и более сложным задачам. Однако далее мы конструктивно определим решение этих игр на исходном множестве управлений.

Игра Г₂.

В этой игре , т.е. игрок 1 до выбора

имеет информацию о .

Поэтому стратегии игрока 1 – функции

Для игрока 2 имеем

Вспомогательные конструкции.

Стратегия наказания:

определяется из условия:

Максимально гарантированный результат (МГР) подчиненного равен

Множество исходов выгодное подчиненному

Исходы (x₁, x₂ ) вне этого множества не устраивают игрока 2 и он всегда может добиться выигрыша не меньше, чем L₂ , выбирая x₂ = xˆ₂ из условия

Определим из равенства

Наконец определим

=

Отметим, что

Теорема 1.

При условии доброжелательности , оптимальный выигрыш игрока 1 в игре Г_2,равен К_2, а (- его оптимальная стратегия.

Доказательство:

При известной стратегии (игрок 2 получит:

- если , то и .

- если же игрок 2 выберет , то его выигрыш не превысит

.

Если , то множество R₂ () состоит из единственной точки .

В случае множество R₂ () содержит выборыx₂ , в том числе , эквивалентные для игрока 2 _. В силу доброжелательности игрока 2 , он выберет точку - выгодную для игрока 1_.

Итак, в условиях теоремы игроку1 гарантируется исход , приводящий к выигрышу =

Покажем, что К₂ - максимальный гарантированный выигрыш.

Действительно, если исход () приводит к() >_,

то он лежит вне множества D₂ по определению

Но вне множества D₂ выигрыш игрока 2 оценивается величиной

() .

Это не выгодно игроку 2 и он всегда может выбором получить _.

Теорема доказана.

Замечание 2.

Условие доброжелательности может быть опущено, если множество является замыканием не пустого множества

= {( )× _| () >}

Действительно, в этом случае даже, если () = L_2, можно «скорректировать» оптимальную стратегию, заменив ее стратегией

Где точка (,) удовлетворяет условиям:

(,

(,

,

величина определяет затраты игрок 1 на стимуляцию игрока 2.

Механизмом такой стимуляции может служить «побочный платеж».

() обещанный начальником подчиненному.

Игра

В этой игре игрок 2 знает выбор игрока 1 до своего выбора , т.е.:,=(). В свою очередь игрок 1 знает такое правило поведения игрока 2, т.е.

Вспомогательные конструкции.

Определим МГР игрока 2:

Далее определим стратегию наказания (стратегию наихудшую для игрока 2)

из условия

В игре взаимовыгодное множествоопределяется равенством

= {( )× ≥ }

Напомним, что всегда ≥ _, поэтому . Определим исход () из условия

К₃ =

Построим стратегию игрока 2:

где произвольная функция.

Оптимальная стратегия игрока 1имеет вид:

Содержательно игрок 1 выберет (выдает кредит), если игрок 2 использует этот кредит выбором=,при этом игрок 2 получает(,) ≥

В противном случае игрок 1 выбирает и игрок 2 не получит больше .

Теорема 2.

При условии доброжелательности игрок 2 оптимальный выигрыш игрока 1 в игре равен_, а – его оптимальная стратегия.

Доказательство.

Аналогично доказательству теоремы 1.

Замечание 1 и 2 к теореме 1 справедливы и для теоремы 2.

Кроме того, в силу ≤ имеем ≥, то есть выигрыш игрока 1 в игребольше или равен его выигрышу в игре.

Упражнение.

Докажите, что если в антагонистической игре ,

существует седловая точка, то

Пример.

Ранее на этом примере, мы строили ситуации равновесия на сложных стратегиях. Теперь проиллюстрируем решение иерархических игр.

Игра

Определим множества рациональных ответов игрока 2.

(1) = 3, (1,3) = 7,(1,3) = 2

(2) = 2, (2,2) = 4,(2,2) = 4

(3) = 2, (3,2) = 3,(3,2) = 0

Тогда

max min () = max [2,4,0]=4

={1,2,3} ()={1,2,3} ,

при =2,=2

Замечание.

Решение игры совпало с ситуацией равновесия по Нэшу на управлениях. В общем случае в этой игре можно получить выигрыш, равный выигрышу в наилучшей для игрока ситуации равновесия и даже больше.

Игра

В этом случае = max min () = 0,

φ₁^н(х₂) =

К₂ = () =(3,1) = 7, что соответствует глобальному максимуму М_1.

Оптимальная стратегия игрока 1:

φ₁⁰(х₂) =

Выигрыш игрока 2 равен () =(3,1) = 2>0 =

Игра Г₃.

В этой игре = min max () = 3

Стратегия наказания

Оптимальный выигрыш игрока 1 определяется следующим образом:

Построим стратегию игрока 2:

где произвольная функция.

Оптимальная стратегия игрока 1имеет вид:

При этом игрок 2 получит (1,1) = 6 > 3=_.

Заметим, что в этом примере = 6 < 7 =

Пример:

У 1 игрока - 3 стратегии

2 игрока - 3 стратегии

1игрок выбирает строки

2 игрок выбирает столбцы

Слева - выигрыш 1

Справа – выигрыш 2

max гарантированный результат:

При условии, что 1 игрок выбирает строку

Отметим по строкам, где выигрыш 2 игрока max

Отметим по столбцам, где выигрыш 1 игрока max

Ст1 = 4

Пример:

Ст1 = 3

max 1игрока из отмеченных

Пример:

отрезки

Решение:

Найдем

Y

X

1

Пример:

Предприятие производит некую продукцию, для этого необходимо что-нибудь затратить

Пример:

	1	2	3	1	2	3
	1	1	1	(6,6)	(0,0)	(2,7)
	1	1	2	(6,6)	(0,0)	(3,0)
	1	1	3	(6,6)	(0,0)	(0,0)
	1	2	1	(6,6)	(4,4)	(2,7)
	1	2	2	(6,6)	(4,4)	(3,0)
	1	2	3	(6,6)	(4,4)	(0,0)
	1	3	1	(6,6)	(0,3)	(2,7)
	1	3	2	(6,6)	(0,3)	(3,0)
	1	3	3	(6,6)	(0,3)	(0,0)
	2	1	1	(0,0)	(0,0)	(2,7)
	2	1	2	(0,0)	(0,0)	(3,0)
	2	1	3	(0,0)	(0,0)	(0,0)
	2	2	1	(0,0)	(4,4)	(2,7)
	2	2	2	(0,0)	(4,4)	(3,0)
	2	2	3	(0,0)	(4,4)	(0,0)
	2	3	1	(0,0)	(0,3)	(2,7)
	2	3	2	(0,0)	(0,3)	(3,0)
	2	3	3	(0,0)	(0,3)	(0,0)
	3	1	1	(7,2)	(0,0)	(2,7)
	3	1	2	(7,2)	(0,0)	(3,0)
	3	1	3	(7,2)	(0,0)	(0,0)
	3	2	1	(7,2)	(4,4)	(2,7)
	3	2	2	(7,2)	(4,4)	(3,0)
	3	2	3	(7,2)	(4,4)	(0,0)
	3	3	1	(7,2)	(0,3)	(2,7)
	3	3	2	(7,2)	(0,3)	(3,0)
	3	3	3	(7,2)	(0,3)	(0,0)

Ответ:

Пример:

Пример:

Определим

Ответ: (1,1)

Пример: