Примеры проектирования множества стратегий на множество управлений (выборов, исходов)

Пример 1:

Пусть , т.е.,

, т.е.

Тогда (,).

Фиксируем для примера:

X1=x(x2)=x2^2

X2=x2=1/2.

Тогда эти стратегии проектируются так:

( x 1, x 2 ) ( x 1 (x 2 ) , x 2 ) (x 2/2, ½) =(1/4,1/2)

Пример 2:

Пусть x1: x 2  X 1 т.е. ,

x 2 : x 1X 2, т.е. - игрок 2 принимает решение в зависимости от стратегии первого игрока. Например,

Проектируем:

,

так как

.

Полезные свойства стратегий:

1. На классе стратегий ситуация равновесия по Нэшу существует всегда, необходимо только организовать соответствующий обмен информацией.

2. На классе стратегий из примера 2 можно сделать равновесной любую взаимовыгодную точку. Взаимовыгодное множество – это множество, где игроки получают больше своих максимально гарантированных результатов, следовательно, паретовскую точку можно сделать равновесной.

Ситуация равновесия по Нэшу в информационном расширении игры

Пусть задана игра:

Г = < ,,,>

и ее информационное расширение:

Определение.

(⁰,⁰)- ситуация равновесия в информационном расширении игры, еслиM₁⁰ =M₁(π(⁰,⁰))= M₁(π(,⁰))

M₂⁰= M₂(π(⁰,⁰))= M₂(π(⁰,)

Заметим ,что

(⁰,⁰) π (х₁⁰, х₂⁰) – равновесный исход,но не ситуация равновесия!

Таким образом, ситуация равновесия может реализоваться на стратегиях

(º,º) є

но ее проекция

( хº₁, хº₂) є

не обязательно равновесная по Нэшу.

Напомним, что стратегия ^а = х₁^а(х₂) называется абсолютно оптимальной стратегией, если справедливо равенство:

M₁(x₁^а(x₂), x₂)= M₁(x₁, x₂)

Определим x₂= х₂^а - оптимальный ответ второго игрока из условия:

M₂(x₁^а(x₂), x₂) = M₂(x₁^а(x₂^а), x₂^а )

Положительные свойства стратегий:

Свойство 1.

Ситуация равновесия всегда существует на классе стратегий

(,)=(x₁(x₂),x₂)

Доказательство: Достаточно выбрать абсолютно оптимальную стратегию ^а = хª₁(x₂), и оптимальный ответ на нее^а = х₂^а

По определению:

M₁(x₁^а(x₂),x₂) = M₁(x₁, x₂),

M₂(x₁^а(x₂^а),x₂^а) = M₂(x₁^а(x₂),x₂).

Тогда, если = х₂^а, то

M₁(π(,x^2^а))= M₁(x₁(xª₂), xª₂) = M₁(x₁^а(x₂^а), x₂^а ).

Если =^а(), то M₂(x₁^а(x₂),x₂)= M₂(x₁^а(x₂^а),x₂^а), что соответствует определению ситуации равновесия в информационном расширении игры.

Свойство 2.

Если, тои – увеличение информации приводит к возможности увеличения выигрыша.т

Доказательство:

Первый игрок может не использовать дополнительную информацию и получить . А если повезёт (дополнительная информация оказалась полезной), то получит строго больше.

Свойство 3.

Пусть игрок 1 знает х_{2 .}

Определим взаимовыгодное множество для этого случая:

₁₂={(х₁, х₂)M₁( х₁, х₂) ≥M₁(х₁, х₂);

M₂( х₁, х₂) ≥M₂(х₁, х₂)}.

Любая точка из этого множества может быть сделана ситуацией равновесия на классе стратегий

{х₁(х₂), х₂[х₁(х₂)]}

Аналогичное утверждение верно и в симметричном случае, когда игрок 2 знает х_1.

Здесь взаимовыгодное множество имеет вид:

₂₁={(х₁, х₂)M₁( х₁, х₂) ≥M₁(х₁, х₂);

M₂( х₁, х₂) ≥ M₂(х₁, х₂)}.

А класс использованных стратегий имеет вид:

{ х₁ [х₂(х₁)], х₂ (х₁)}.

ТРИ игры

Проведем анализ рассмотренных ранее игр,но уже на классе стратегий.

Игра «продавец – покупатель»

В этой игре на классе исходных управлений не существует равновесной ситуации.

Пусть теперь например, покупатель имеет информацию о действиях продавца. Тогда его абсолютно оптимальная стратегия заключается в доверии (без затрат на проверку в случае честного поведения продавца. Оптимальный выбор продавца в этой ситуации –честно взвесить товар. Что приводит к исходу – (честно взвеситл, поверил). Подчеркнем, что эта ситуация не является ситуацией равновесия в исходной игре! Ситуация равновесия реализуется только наклассе стратегий.

Аналогично, если продавец знает выбор покупателя, то его абсолютно оптимальная стравтегия заключается в честном поведении при угрозе проверки ви обмане – в случае доверчивого покупателя. Оптимальный ответ покупателя на эту стратегию – проверять продавца. В этом случае реализуется исход –(честно взвесил, проверил), котороый опять же не является равновесным в исходной игре.

Игра «семейный спор»

В этой игре существуют две неравноценные для партнеров ситуации равновесия: идти вместе на футбол, идти вместе на балет. Эта игра на классе стратегий хорошо иллюстрирует тот факт, что иногда более важно владеть инициативой, а не информацией. Кто из партнеров первым ходит, то есть первым делает выбор и сообщает о нем партнеру, тот и добивается для себя более выгодной ситуации равновесия. Если главенствует муж, то жене придется идти с ним на футбол. Если муж находится «под каблуком», то он обречен ходить на балет.

Заметим. Что в дружной семье главенствующий всегда идет на компромисс, предлагая поочередно наслаждаться балетом и футболом. Однако в этой ситуации мы вывходим за рамки статической модели, определяя интегральный (осредненный по времени) выигрыш вв динамической модели повторящейся игры.

Игра «реклама»

В этой игре существует единственная ситуация равновесия – обоим партнерам рекламировать свой товар. Однако существует более эффективный для обоих партнеров вариант, оптимальный по Парето, - не тратиться на рекламу. Но эта ситуация не является равновесной на классе исходных управлений. Однако эта ситуация принадлежит взаимовыгодному множеству, а значит ее можно сделать результатом проекции равновесных стратегий, включающих в себя договорные обязательства со штрафами за отклонение от них.

Пример. [1]

Пусть биматричная игра имеет вид:

М₁=M₂=

Исследуем множество равновесных ситуаций в этой игре.

Имеем для игрока 1:

M₁(x₁,x₂) = 0

M₁(x₁,x₂) = 3

Определим: х₂ = х₂^H- стратегия наказания первого игрока вторым, из условияM₁(х₁, х₂) =M₁(х₁, х₂^H) В данном случае имеем х₂^H=.

Далее для игрока 2 имеем: M₂(x₁,x₂) = 0

M₂(x₁,x₂) = 3

Определим х₁^H (х₂) - стратегию наказания второго игрока первым.

2, если х₁ = 1

х₁^H (х₂)= 1, если х₂ = 2

3 (2), если х₃ =3

Сначала найдем равновесные ситуации в исходной игре.

Для этого определим:

x₁^a(x₂) –абсолютно оптимальную стратегию первого игрока и

х₂ =x₂^a– оптимальный ответ второго.

Напомним, что:

x₁^a(x₂): M₁(x₁^a(x₂), x₂) = M₁(x₁, x₂)x₂^a:

M₂(x₁^a(x₂^а), x₂^a) = M₂(x₁^a(x₂^а), x₂).

Итак:

3, если x₂ = 1

x₁^a(x₂) = 2, еслиx₂ = 2

2, если x₂ = 3

Аналогично: 3, если x₁ = 1

x₂^a(x₁) = 2, еслиx₁ = 2

2, если x₁ = 3

Единственная ситуация равновесия в исходной игре определяется из условия

x₁^a(x₂^а) =x₂^a(x₁^a)(2,2).

В этой ситуации выигрыши игроков равны (4,4).

Замечание.

Прием построения абсолютно оптимальных стратегий и нахождения их пересечений для определения ситуаций равновесия носит общий характер.

Построим П-множество Парето на классе исходных управлений.

Напомним, что

(x₁^п,x₂^п)П

если не существует (x₁^',x₂^')єХ₁*Х₂, такой что:

M_i(x₁^',x₂^') ≥M_i(x₁^п,x₂^п),i=1, 2 (дизъюнкция)

M_i(x₁^',x₂^') >M_i(x₁^п,x₂^п),i=1 либоi=2 (конъюнкция)

В пространстве выигрышей множество возможных решений имеет вид:

M₂

П

7

6 П

4 (4, 4) с.р.

3

2 П

0 2 3 4 6 7 M₁

рис.1

Как видно из рис.1:

П = {( 1,1); (1,3); (3,1)},

С выигрышами игроков соответственно

МП = {(6,6); (2,7); (7,2)}.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одна из этих точек не является ситуацией равновесия в исходной игре.

Покажем, что эти ситуации могут быть результатом проекции равновесных стратегий вида:

{ х₁(х₂), х₂[х₁(х₂)]}, {х₁[х₂(х₁)], х₂(х₁)}.

Покажем, что равновесные стратегии можно выбрать на классе стратегий {x₁(x₂),x₂ [x₁(x₂)]} .Действительно , пусть

x₁⁰ (x₂) = 1, х₂=1 ⁰ = х₂⁰ [х₁(х₂)] = 1, =

х₁^н (х₂), х₂1 , х₂^н = 3,

Очевидно, эти стратегии проектируются в точку (х₁ = 1, х₂=1). В этой точкеM₁ = 6,M₂ = 6.

Если от этих стратегий отклонится игрок 1, то есть , то он получит не больше, чем

M₁(π(,⁰))= M₁(π (, 3) =M₁(2, 3) = 3 < 6.

Таким образом, игроку 1 не выгодно отклоняться от точки (,⁰).

Если же при =, игрок 2 выберет, то его выигрыш оценивается величиной

M₂[π(⁰,)].

Если т.ч. х₂1, при=, то

M₂[π(⁰,)] =M₂(х₁^H(х₂), х₂) = 0 < 6

Итак, игроку 2 также не выгодно отклоняться от точки (,⁰), то есть (,⁰) – ситуация равновесия в игре.

Упражнение.

Точку (7,2) можно сделать ситуацией равновесия на классе

{x₁(x₂),x₂ [x₁(x₂)]}

Точку (2,7) можно сделать ситуацией равновесия на классе

{x₂(x₁),x₁ [x₂(x₁)]}.

Замечание.

Точку из множества Парето можно сделать равновесной, если выигрыши игроков в ней оцениваются величиной не меньшей, чем их максимально гарантированные результаты, соответствующие их информированности. Этому условию удовлетворяет точка (7,2) на классе стратегий {x₁(x₂),x₂ [x₁(x₂)]} и точка (2,7) на классе стратегий {x₂(x₁),x₁ [x₂(x₁)]}.

Примеры на стратегиях!!!

Пример 1.

Покупатель продавец.

Стратегии:

продавец = {честно взвесил или обманул}

покупатель = {поверил или проверил}

Биматричная игра:

Покупатель

Верить проверить

Честно взвесить 0,0 0, -1/2

Продавец

Обмануть 1,-1 -1,1

х1 а	2	1
х2	1	2

x₂= х₂^а , х₂^а = 2

х2 а	1	2
x1	1	2

х₁^а = 1

(0,0) – в данном случае продавец честно взвесил товар, а покупатель ему верит, не проверяя.

(1,-1) – в данном случае продавец обманул покупателя, а покупатель не поверил ему.

(0,-1/2) – покупатель честно взвесил товар, но покупатель ему не поверил и решил проверить.

(-1,1) – продавец обманул покупателя, а тот решил проверить продавца.

1. Ситуации равновесия не всегда существуют.

х₁^а(x₂)

обманул	честно взвесил
верит	не верит

х₂^а(x₁)

честно взвесил	обманул
верит	не верит

Ситуации равновесия не существует, так как хотя бы одному игроку выгодно отклониться.

Пример 2. Семейный спор.

Жена

Футбол балет

Футбол 2,1 0,0 Муж

Балет 0,0 1,2

(2,1) – в данном случае в выигрыше оказывается муж, так как он идет на футбол, причем вместе с женой.

(0,0) – в данном случае ни один из них не оказывается в выигрыше, так как муж не пошел женой на балет, а она не пошла с ним на футбол. То есть не провели вечер вместе, хотя планировали именно так.

(0,0) – опять не в выигрыше.

(1,2) – в данном случае в выигрыше оказывается жена, так как они пошли на балет вместе.

х1 а	1	2
х2	1	2

жена:

х₂^а = 2

х1	1	2
х2 а	1	2

муж:

х₁^а = 1

= 1, х₂= 1 (Ф)

1, х₂ = 2 (Б)

В данном случае существует 2 ситуации равновесия: (1,2) и (2,1). Вопрос в том, кто берет на себя инициативу установления равновесия. Этот вопрос решается только обсуждениями в динамике или учитывая, кто в семье главный.

2. Ситуация равновесия не всегда может быть принципом оптимальности для бескоалиционной игры, так как партнером нужно договориться, какую ситуацию выбрать.

Пример 3. Реклама.