Упражнения

1. Предприятие дает в среднем 25 % продукции высшего сорта и 65 % продукции первого сорта. Какова вероятность того, что слу­чайно взятое изделие окажется высшего или первого сорта?

2. Деталь проходит две операции обработки. Вероятность получе­ния брака при первой операции равна 0,02, при второй — 0,03. Найти вероятность получения детали без брака после двух операций, предполагая, что события получения брака на отдельных операциях являются независимыми.

3. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и, поэтому, набирает ее наудачу. Найдите вероятность того, что ему придется испробовать не более, чем четыре варианта.

4. Вероятность того, что противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,7, вероятность попадания в этом случае равна 0,6. Для поражения противника достаточно одного попадания. Найдите вероятность его поражения при двух выстрелах

8. Формула полной вероятности

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, ко­торое может произойти вместе с одним из событий H₁, H₂,...H_N, образующих полную группу несовместных событий. Эти события иногда называют гипотезами.

Т. к. события H₁, H₂,...H_N образуют полную группу событий, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез. Поэтому А = H₁*А + H₂*А + ... + H_N * А. Т.к. гипотезы H₁, H₂,...H_N несовместны, то несовместными будут и их комбинации H₁*А, H₂*А...H_N*А. Применяя теорему сложения, получим

P(A) = P(H₁*A) + P(H₂*A) + … + P(H_N*A) (24)

Но, по теореме умножения

Р(Н₁ * А) = P(H₁) * P(A\H₁);

Р(Н₂ * А) = P(H₂) * P(A\H₂);

………………………………

Р(Н_N * А) = P(H_N) * P(A\H_N);

Подставив эти значения в равенство (24), получим:

Р(А) = Р(Н₁) • Р(А\H₁) + Р(Н₂) • Р(А\Н₂) + - + Р(Н_N) • Р(А\Н_N). (25)

Равенство (25) называется формулой полной вероятности.

Пример. На предприятии изготавливают изделия определенного вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30 % изделий от общего объема их производства, на второй — 25 %, на третьей — остальная часть продукции. Каждая из линий характеризует­ся соответственно следующими процентами годности изделий: 97 %, 98 %, 96 %. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие, выпу­щенное предприятием, окажется бракованным.

Решение. Введем обозначения: А — событие, состоящее в том, что наугад взятое изделие оказалось бракованным; H₁, H₂, H₃ — гипотезы про­изводства изделия соответственно на первой, второй и третьей линиях.

Прежде всего отметим, что на третьей линии производится 45 % изделий от общего объема их производства. В соответствии с условием задачи имеем

Р(Н₁) = 0,30, Р(Н₂) = 0,25, Р(Н₃) = 0,45;

Р(А\Н₁) = 0,03, Р(А\Н₂) = 0,02, Р(А\Н₃) = 0,04.

Используя формулу полной вероятности (25) в случае N = 3, на­ходим искомую вероятность

Р(А) = (Н₁) • Р(А\H₁) + Р(Н₂) • Р(А\Н₂) + Р(Н₃) • Р(А\Н₃) = 0,30 • 0,03 + 0,25 • 0,02 + 0,45 • 0,04 = 0,032.

Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракован­ным, равна 3,2 %.