7. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теоремы, о которых пойдет речь ниже, справедливы и при классиче­ском и при статистическом определении вероятностей. Для определенности мы будем использовать статистическое определение вероятности.

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) (20)

▲ Пусть в результате серии из N опытов событие А появилось М₁ раз, а событие В - M₂ раз:

Т.к. события А и В несовместны, то среди опытов нет таких, в которых бы события А и В появились вместе. Поэтому, из определения суммы событий следует, что событие А + В (появление хотя бы одного из событий А и В) появится М₁ + М₂ раза, следовательно,

▼

Пример 1. На складе имеется 50 деталей, изготовленных тремя бри­гадами. Из них 25 изготовлено первой бригадой, 15 — второй и 10 — третьей. Найти вероятность того, что на сборку поступила деталь, изго­товленная второй или третьей бригадой.

Решение. Так как поступление детали, изготовленной одной брига­дой, исключает появление детали, изготовленной другой бригадой, то события несовместны. Вероятность поступления детали из бригад обо­значим соответственно Р(А), Р(В), Р(С). Имеем:

; ;;;

Здесь использовалось классическое определение вероятности.

Теорема 1 обобщается и на случай любого конечного числа несо­вместных событий:

Р {А + В + … + С) = Р (А) + P (В) + … + Р (C)

Из теоремы 1 следует, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р (А) + Р(А) = 1.

Заметим, что если А и В — совместные события, то формула (20) неприменима. Рассмотрим этот случай подробно. Пусть события А и В являются совместными, т. е. появление одного из них не исключает по­явления другого.

Вероятность наступления одного события А при условии наступле­ния другого события В называется условной вероятностью и обознача­ется Р (А\В). Если в результате серии из N опытов событие А появилось М₁ раз, а событие В — М₂ раз, причем k раз из них (k < М₂) события А и В появились вместе, то

; ;;

(третье равенство следует из того, что среди М₂ элементарных исходов, благоприятствующих событию В, ровно k раз наступило и событие А, поэтому условная вероятность события А при наступлении события В и есть соотношение . Точно также можно обосновать справедливость и М2 четвертого равенства).

Теорема 2. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

Р(АВ) = Р (А)Р(В\А) = Р(В) Р(А\В) (21)

▲ Пусть в результате серии из N опытов событие А появилось М₁ раз и событие В - М₂ раз, причем k раз события А и В появились вме­сте. Тогда

; ;;;

Так как событие А появилось в М₁ опытах и в k из этих опытов появилось вместе с ним событие В, то Р (АВ), т. е. вероятность совмест­ного появления событий А и В равна

или

Р(АВ) = Р(А) Р(В\А) = Р(В) Р(А\В). ▼

В частности, если события А и В несовместные, то Р(А\В) = Р(В\А) = 0, поэтому равенство (21) для несовместных событий принимает вид

Р(АВ) = 0. (22)

Определение. Событие А не зависит от события В, если наступ­ление события В не оказывает влияния на вероятность события А.

Таким образом, если событие А не зависит от события В, то

Р(А\В) = Р(А) (23)

Имеет место следующая.

Теорема 3. Если событие А не зависит от события В, то справед­ливо равенство

Р(АВ) = Р(А) Р(В).

Доказательство теоремы непосредственно следует из равенств (22) и (23).

Пример 2. На предприятии % % изделий признаются пригодными к использованию, а остальные — бракованными. Из каждой сотни при­годных изделий в среднем 75 являются изделиями первого сорта. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие окажется первого сорта.

Решение. Через А обозначим событие, заключающееся в том, что изделие признается годным, а через В - что изделие первого сорта. Ис­комой величиной является Р(АВ) (так как, для того чтобы изделие было первосортным, надо, чтобы оно было одновременно годным (событие А) и первого сорта (событие В)).

Из условия задачи Р(А) = 0,96, Р(В\А) = 0,75. Следовательно, Р(АВ) = Р(А) Р(В\А) = 0,96 • 0,75 = 0,72.