5. Классическое определение вероятности

Существуют различные подходы к определению вероятности события.

Одним из таких определений является так называемое классическое определение вероятности. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

При этом определении вероятностью события называется отноше­ние числа элементарных исходов, благоприятствующих данному собы­тию, к числу всех равновозможных элементарных исходов опыта.

Вероятность события А обозначают через Р(А). Если через m обо­значить число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, а через n — число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий, то

(19)

Установим некоторые свойства вероятности события.

Свойство 1. Вероятность события А есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей: 0 < Р (А) < 1.

Это свойство непосредственно следует из равенства (19) по­скольку 0 < m < n.

Свойство 2. Вероятность достоверного события равна единице: P(U) = 1.

Это свойство следует из того, что достоверное событие наступает при каждом испытании (m = n).

Свойство 3. Вероятность невозможного события равна нулю: P(V) = 0.

В самом деле, невозможное событие ни при каком испытании не на­ступает (m = 0).

Свойство 4. (аддитивность). Если А и В — несовместные события, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей: Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Пример. Пусть имеется 80 деталей, среди которых 60 исправных, а 20 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь ока­жется исправной.

Решение. Очевидно, что из числа всех деталей, т. е. из числа 80, нам благоприятствуют 60 и не благоприятствуют 20. Если, через А обозначим событие, что взятая деталь исправна, то согласно классиче­скому определению вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих элементарных исходов к числу всех равновоз­можных. Поэтому

Упражнения

1. Среди 170 деталей, изготовленных на станке, оказалось 8 деталей, не отвечающих стандарту. Найдите вероятность выбора детали, не отвечающей стандарту.

2. Телефонный номер состоит из шести цифр. Найдите вероятность того, что все цифры различные.

3. Контролер, проверяя качество 500 изделий, установил, что 10 из них относится ко второму сорту, а остальные — к первому. Найди­ те вероятность выбора изделия первого сорта, выбора изделия второго сорта.

4. На десяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Две из них вынимаются наугад и укладываются в порядке появления, затем читается полученное число. Найдите вероятность того, что число будет нечетным.

5. На шести карточках написаны буквы в, д, з, о, у, х. После перета­совки вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают их в том порядке, в каком они были вынуты. Найдите вероятность того, что на карточках будет написано слово «воздух».

6. В ящике находятся 6 красных и 9 белых шаров. Из ящика извле­чены три шара. Найдите вероятность того, что два из них окажутся красными.

6. Частота события. Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности предполагает, что все эле­ментарные исходы равновозможные. О равновозможности исходов опы­та обычно заключают в силу соображений симметрии (например, как в случае идеальной игральной кости или монеты). Такие задачи на прак­тике встречаются довольно редко. Во многих случаях трудно указать основания для возможности считать, что все элементарные исходы равновозможные. В связи с этим появилась необходимость введения еще одного определения вероятности, которое получило название стати­стического. Это определение основано на таком понятии, как относи­тельная частота события.

Определение. Относительной частотой события или частотой называется отношение числа опытов, в которых появилось это собы­тие, к числу всех произведенных опытов.

Обозначим частоту события А через W(A), тогда по определению

где М - число опытов, в которых наступило событие А, а N - число всех произведенных опытов.

Частота события обладает следующими свойствами:

1. Частота случайного события есть число, заключенное между нулем и единицей: 0 < W(A) < 1.

2. Частота достоверного события U равна единице: W (U) = 1.

3. Частота невозможного события V равна нулю: W (V) = 0

4. Частота суммы двух несовместных событий А и В равна сумме частот этих событий: W(A +B) = W(A) + W(B)

Вероятностью Р(А) события А при статистическом ее определении называется частота W(A) данного события в серии, состоящей из боль­шого числа испытаний.

Пример. Из 600 наудачу взятых деталей 12 оказались бракованны­ми. Найти частоту появления бракованных деталей.

Решение. Так как в данном примере М = 12, а N = 600, то по опре­делению частоты имеем

Замечание. Кроме приведенных классического и статистического определений вероятности существует и так называемое геометрическое определение вероятности. Дело в том, что как классиче­ское, так и статистическое определения предполагают, что число эле­ментарных исходов конечно. Чтобы преодолеть этот недостаток, вво­дится геометрическое определение вероятности, которое состоит в том, что за вероятность принимается площадь некоторой области плос­кости, а за элементарный исход — точка этой области при условии, что площадь всей области элементарных исходов равна 1.