4. Случайное событие и его вероятность

Основными понятиями этой теории являются случайные события и их вероятности.

В повседневной жизни часто приходится иметь дело с событиями, которые при выполнении некоторых условий могут произойти, а могут и не произойти. Например, при изготовлении детали на станке получа­ют, в основном, деталь, годную к использованию, но она может оказать­ся и бракованной. При выстреле в мишень событие — попадание в де­сятку — может произойти, но может и не произойти.

Совокупность условий, при которых рассматривается появление случайного события, будем называть комплексом условий, испытанием или опытом.

Возможный результат опыта называется событием.

Например, опытом является стрельба по мишени, а событиями — «поражение мишени», «не поражение (промах)».

События мы будем обозначать прописными латинскими буквами: А, В, С...

Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обяза­тельно произойдет в данном опыте. Так, например, если в ящике нахо­дятся только красные шары, то событие «из ящика извлечен красный шар» — событие достоверное.

Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в данном опыте. Например, для того же ящика с крас­ными шарами событие «из ящика извлечен черный шар» — событие невозможное.

Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти. Например, при сдаче экзамена по математике, событие «получить отлично» может произойти, а может и не произойти.

Два события называются совместными в данном опыте, если появ­ление одного из них не исключает появления и другого. Например, при бросании идеальной игральной кости события «выпадение четного чис­ла очков» и «выпадении двойки» — события совместные.

Два события называются несовместными в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же опыте. Например, одно­временное «выпадение герба» и «решки» при бросании монеты — со­бытия несовместные.

Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Два события называются противоположными, если появление од­ного из них равносильно не появлению другого. Так, например, противо­положными событиями являются «выпадение выигрыша» на купленный лотерейный билет и «невыпадение выигрыша» на тот же билет.

Совокупность событий А₁, А₂, ... А_n образуют полную группу со­бытий, если они попарно несовместны и появление одного и только одного из них является достоверным событием. Например, при одно­кратном бросании одной игральной кости выпадение цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 являются попарно несовместными событиями и выпадении одной и только одной цифры будет достоверным событием.

События называются равновозможными, если нет основания пола­гать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, пред­ставляет собой совокупность так называемых «элементарных событий (или исходов)», которые характеризуются тем, что в результате опыта происходит один и только один элементарный исход. Знание элемен­тарного исхода позволяет нам судить о том, произошло каждое данное событие или нет. Например, «вытянуть билет с определенным номером» на экзамене из имеющихся 30 билетов, есть элементарный исход.

Элементарные исходы при данном опыте, при которых данное со­бытие наступает, называются благоприятствующими этому событию. Например, при бросании игральной кости выпадению четного числа очков благоприятствующими являются исходы: выпало 2, 4, 6 очков.

Пусть дано несколько событий А, В, С...К. Событие, состоящее в по­явлении хотя бы одного из них, называется суммой или объединением этих событий. Сумма событий А, В, С ...K обозначается А + В + С+…+ К.

Событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий, называется произведением или совмещением этих событий. Произведе­ние событий А, В, С, ..., К обозначается ABC...К.

Например, из множе­ства деталей выбираются наугад две. Пусть А — событие, означающее, что первая деталь оказалась не бракованной, а В — что вторая деталь также оказалась не бракованной, тогда А + В означает, что хотя бы одна из выбранных деталей оказалась не бракованной, а АВ — что обе детали оказались не бракованными.

При выполнении соответствующего комплекса условий, т. е. при проведении различных испытаний, достоверное событие, которое обо­значим через U, обязательно произойдет, а невозможное событие ко­торое будем обозначать через V, — обязательно не произойдет. Среди тех событий, которые при данном опыте могут произойти или не про­изойти, есть такие, которые могут произойти с большим или меньшим основанием. Если, например, среди деталей имеется большое число бракованных, то оснований для того, что можно выбрать бракованную деталь, больше, чем, если бы среди них было меньше бракованных. Мы можем сказать, что вероятность выбора бракованной детали в первом случае большая, чем во втором. Вероятность события есть объектив­ная величина, которая зависит лишь от комплекса условий, при которых оно может произойти.