2. Упорядоченные множества. Перестановки и размещения.

Задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и производить подсчет числа всех возможных таких комбинаций, относятся к разделу математики, который называется комбинаторикой. Этот раздел математики находит широкое применение во многих вопросах естествознания и техники.

Перейдем к рассмотрению некоторых элементов комбинаторики.

Пусть дано конечное множество. В этом множестве установим оп­ределенный порядок расположения его элементов. Получим так назы­ваемое упорядоченное множество. Например, упорядоченное множест­во образуют 33 буквы русского алфавита; множество учащихся группы, если за порядок принять список журнала, и т. п. Упорядоченным беско­нечным множеством является множество натуральных чисел. Мы будем рассматривать лишь конечные множества. В комбинаторике установ­ленный порядок во множестве называют перестановкой его элементов.

Например, в множестве из одного элемента существует одна пере­становка, в множестве из двух элементов — две. В самом деле, обозна­чив элементы этого множества через а и b, мы можем составить две пе­рестановки а; b и b; а.

В множестве из трех элементов М = {а, Ь, с} можно образовать 6 перестановок:

(а; b;с), (а; с; b), (с; а; b), (с; b; а), (b; с; а), (b; а; с).

Число перестановок из n элементов обозначим через Р_n. Мы уста­новили, в частности, что Р₁ = 1, Р₂ = 2, Р₃ = 6.

Теорема 1. Для числа перестановок из n элементов справедливо равенство

P_n = n P_n-1 (6)

А Равенство (6) докажем методом математической индукции.

1. Для n = 1 и n = 2 равенство (6) справедливо, так как P₁ = 1 и Р₂ = 2Р₁ = 2*1=2

2. Предположим, что равенство (6) верно при некотором нату­ральном k:

P_k+1 = kP_k-1

Добавив в множество с к элементами еще один элемент, мы в каж­дой перестановке (а их всего Р_k) можем разместить этот элемент k + 1 способами. В самом деле, т.к. каждая перестановка — это упорядо­чение множества из к элементов, то (k + 1)-й элемент можно поставить в этот ряд k + 1 способом: перед первым элементом, перед вторым, треть­им, ..., последним и еще — за последний элемент. Таким образом, число всевозможных перестановок Р_k+1 из (k+1)-го элемента будет равно произведению k + 1 на число Р_к перестановок из k элементов:

P_k+1 = (k+1)P_{k ▼}

Так как Р₁ = 1, Р₂ = 1 • 2, Р₃ = 6 = 1 • 2 • 3, то, очевидно, что

P_n= 1* 2*3-... *n (7)

Для произведения первых n натуральных чисел принято специаль­ное обозначение n! = 1 *2*3 ... * n (n! читается «эн-факториал»). Таким образом,

Р_n = n! (8)

Например, если на завод прибыли 6 токарей и их нужно закрепить за имеющимися 6 токарными станками, то возможностей будет

Р₆ = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.

В самом деле, у первого токаря имеется 6 возможностей выбрать станок, у второго — уже только 5 возможностей, у третьего — 4 воз­можности, у четвертого — 3, у пятого — две и, наконец, у шестого — только одна возможность.

Каждая перестановка, составленная из элементов взятого множест­ва, содержит все элементы этого множества. Но может оказаться, что из числа n элементов множества необходимо выбрать только определенное число m (m < n) элементов, т. е. возникает необходимость установить: сколько упорядоченных подмножеств по m элементов в каждом можно образовать из n элементов исходного множества.

Каждое такое упорядоченное подмножество в комбинаторике на­зывается размещением из n элементов по m.

Итак, поставим вопрос: сколько размещений по m элементов можно составить из данного множества, содержащего n элементов? Число та­ких размещений обозначим А^m_n.

Например, из множества M = {а, b, с}, содержащего три элемента, можно составить 6 размещений по 2 элемента: (а; Ь), (а; с), (b; с), (b; а), (с; а), (с; b).

Таким образом, А= 6.

Легко проверить, что А=n.

Теорема 2. Для любых натуральных чисел тип, удовлетворяющих условию 1 m <n,

А= (n - m + 1)А(9)

▲ На первом шаге выберем любой из имеющихся n элементов. При этом будем иметь А=n. Если этот выбор уже сделан, то на втором шаге приходится уже выбирать из оставшихся n - 1 элементов, поэтому из n элементов по 2 всего можно составить

A = (n -1)A= n ( n - l) (10)

размещений. Точно так же на третьем шаге для выбора остается n - 2 элемента, поэтому из n элементов по 3 можно составить

А = (n - 3)А = n (n - 1)(n - 2) (11)

размещений. На m -м шаге остается n - m + 1 элементов. Следовательно, из n элементов по m можно составить А= (n - m + 1)Аразмещений. ▼.

Запишем числа А, А, А... Аследующим образом

A= n,

А=n (n - 1)

А=n (n -1)(n -2) (12)

……………………………………

A = n (n - 1) (n - 2) (n - 3)...(n - m + 1).

Умножив и разделив правую часть последнего равенства (12) на

(n - m)! =(n - m)(n – m - 1)* ...* 3 * 2 * 1,

найдем

A (13)

По определению будем считать, что А= 1.

Так как перестановки можно считать частным случаем размещений (при m = n), то

А= Р_n = n! (14)

Пример. Перед выпуском группа учащихся техникума в 30 человек обменялась фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Решение. Группа учащихся составляет множество элементов, уча­ствовавших в обмене фотокарточками, следовательно, n = 30. Каждое размещение есть передача фотокарточки одним учащимся другому. По­этому m = 2. Таким образом, всех фотокарточек было А= 30* 29 = 870.