Упражнения

1. Найдите математическое ожидание дискретной случайной вели­чины, закон распределения которой задан таблицей

X	3	4	5	6	7
P	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

2. Известны математические ожидания двух случайных величин X и Y: М[Х] = 3, М[Y] = 2. Найти математическое ожидание суммы и раз­ности этих величин.

3. Известны математическое ожидание двух независимых величин X и Y: М [X] = 4, М [Y] = 5. Найти математическое ожидание величи­ны Z= 2(X+ЗУ)(2X-У).

10. Дисперсия случайной величины. Среднее квадратичное отклонение

Перейдем к другой числовой характеристике случайной величины, о которой мы упомянули в предыдущей главе — к дисперсии.

Заметим, что различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание. Как, например, для случайных вели­чин X и Y, заданных следующими

X	-0.04	0.06
Px	0.6	0.4

Y	-300	100
Py	0.25	0.75

Математическое ожидание их одинаковы:

М[Х] = -0,04 • 0,6 + 0,06 • 0,4 = 0;

M[Y]= -300 • 0,25 + 100 • 0,75 = 0.

Однако характер распределения этих величин различен. Величина X принимает значения, мало отличающиеся от ее математического ожи­дания, а значения величины У сильно отличаются от своего математиче­ского ожидания.

Таких примеров можно привести множество. Например, в двух уч­реждениях с различным соотношением низкооплачиваемых и высоко­оплачиваемых работников может оказаться одна и та же средняя зара­ботная плата или 2 различных исправных прибора для измерения одной и при многократных измерениях могут давать одно и то же значение, что вовсе не означает их одинаковой точности.

Подобного рода примеры убеждают нас в том, что необходимо ввести еще одну числовую характеристику, которая позволяла бы измерять степень разброса или, как еще называют, степень рассеивания значений, принимаемых случайной величиной, вокруг ее математического ожидания.

Пусть X – дискретная случайная величина, возможные значения которой суть x₁, x₂,…x_n, M[X] – ее математическое ожидание. Случайную величину X – M[X] называют отклонением величины X от ее математического ожидания. Т.о., отклонение есть случайная величина, которая принимает значения

X₁ – M[X], X₂ – M[X], …, X_n – M[X]

Оказывается, что отклонение не может служить характеристикой рассеивания случайной величины, т.к. ее мат. ожидание всегда равно нулю. Поэтому для получения характеристики разброса случайной величины введем вначале мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат.ожидания.

Определение. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Обозначим дисперсию случайной величины через D[x], тогда согласно определению будем иметь

D[X] = M[(X – M[X])²] (27)

Теперь для случайной величины X введем число σ[x], а именно квадратный корень из дисперсии: σ[X] = (28), которое называется средним квадратичным отклонением случайной величины X.

Если дисперсия характеризует средний размер квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания, то среднее квадратичное отклонение рассматривается как некоторая средняя ха­рактеристика этого отклонения.

Дисперсия обладает следующими свойствами, которые примем без доказательства (читатель может самостоятельно проверить выполнение этих свойств):