Вопросы и ответы нах / Issled_operatsy

1. Понятие одномерной и многомерной оптимизации. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума.

2. Условный экстремум: Функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа.

3. Симплекс-метод. Преобразование симплекс  таблиц на языке Pascal.

4. Двойственные задачи: симметричные и несимметричные. Двойственность в линейном программировании.

2. Условный экстремум: Функция Лагранжа, метод множителей Лагранжа.

Определение 3. Пусть Е - множество точек X n-мерного евклидова пространства Eⁿ, для которых выполняются условия

Точка Х₀ Еⁿ называется точкой условного экстремума функции у = f(X) относительно соотношений g_i(X) = 0, если она является точкой обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве Е. Если система уравнений g_i(x₁, х₂;...; x_n) = 0,i = l,2,..., m; m n-m+1;...; х_n:

то вопрос об условном экстремуме функции у = f(x₁, х₂;...; x_n) равносилен вопросу об обычном экстремуме функции

На практике, однако, или принципиально невозможно выразить из уравнений g_i(X) = 0 группу переменных, или это может оказаться слишком громоздкой операцией. В этом случае можно эффективно использовать метод множителей Лагранжа. Определение 4. Функция , где - постоянные множители, называется функцией Лагранжа.

Теорема 6. Если в точке Х₀ выполняются условия: , точка Х₀ является стационарной точкой для функции Лагранжа, и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой переменных dx₁, dx₂,..., dx_n при условии, что они удовлетворяют соотношениям

то точка Х₀ является точкой условного строгого минимума (максимума) для функции у = f(X) относительно условий g_i(X) = 0.

3. Симплекс-метод. Преобразование симплекс  таблиц на языке Pascal.

Симплекс (от лат. semplex – простой) – это простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. Количество точек вершин, определяющих симплекс, равно (n+1).[22] Симплекс-метод, таким образом, является алгебраической формой решения задачи ЛП, непосредственно вытекающей из приведенного выше геометрического представления.

В его непосредственной форме симплекс-метод предназначен для решения канонической задачи ЛП ((4.5) – (4.6)). [23]

Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но не обязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение); оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за предельное число этапов (итераций). Пошагово процесс нахождения оптимального решения представим в следующем виде:

Первый шаг.

Нахождение допустимого плана, соответствующего одной из вершин области допустимых планов.

Второй шаг.

Проверка найденного плана на оптимальность. Если ответ положителен (да, план оптимален), вычисления окончены. Если нет – осуществляется переход к следующему плану. Третий шаг.

Переход к другой вершине симплекса (к другому плану), в котором значение целевой функции "лучше", проверка его на оптимальность и т. д.

Отсюда видно, что первым шагом должно быть получение координат одной из вершин многогранника допустимых планов. Для этого необходимо преобразовать систему уравнений вида (4.6) так, чтобы с ее помощью получить координаты вершины симплекса допустимых решений.

Для этого нужно выразить одни переменные в системе ограничений (4.6) через другие. Система в этом случае примет вид:

х1 = ?4х4 + ?5х5 + ?

х2 = b4х4 + b5х5 + b (4.9)

х3 = g4х4 + g5х5 + g

В получившейся системе число переменных, выраженных через другие, равно числу строк – неравенств системы. Соответственно, если из числа – количества неизвестных системы ограничений вычесть число – количество строк системы, получим число переменных, через которые будут выражены все остальные неизвестные системы.

Можно заметить, что в каждой из вершин симплекса (n – m) переменных равны нулю. Поэтому нужно принять равными нулю переменные, число которых составляет (n – m), а затем найти значения m переменных из системы уравнений. В совокупности последние дадут один из допустимых планов, соответствующих некоторой вершине.

Симплекс-метод основан на следующих свойствах задачи ЛП:

1) Не существует локального экстремума, отличного от глобального. Другими словами, если экстремум есть, то он единственный;

2) Множество всех допустимых планов задачи ЛП выпукло;

3) Целевая функция задачи ЛП достигает своего экстремального значения в угловой точке многогранника решений (в его вершине). Если целевая функция принимает свое оптимальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек;

4) Допустимые базисные (опорные) планы совпадают с угловыми точками многогранника решений;

5) Число положительных элементов допустимого базисного решения меньше или равно числу ограничений m;

6) Число угловых точек и число допустимых базисных решений конечно;

7) Число положительных элементов невырожденного (т. е. такого, где число нулевых значений соответствует n – m, а ненулевых значений – m) [24] допустимого базисного решения равно числу ограничений m.

3. Двойственные задачи: симметричные и несимметричные. Двойственность в линейном программировании.

Любая задача ЛП имеет двойственную к ней

Если в целевой функции исходной задачи необходимо найти максимум, то в двойственной необходимо найти минимум и ограничения имеют знак ≥ и наоборот.

Различают

-симметричные двойственные задачи

-не симметричные двойственные задачи

-смешанные

Симметричная двойственная задача

L(x) = C1x1 + C2x2 +…+ Cnxn → max

Алгоритм построения симметричной двойственной задачи

L(x) = b1y1 + b2y2 +…+bmym → min

-Каждому неравенству системы ограничений исходной задачи поставим в соответствие переменную yi

-Построим целевую функцию, слагаемыми которых являются произведения свободных коэффициентов исходной системы на соответствующие новые

-Составим систему ограничений, коэффициентами которой являются коэффициентами матрицы, транспонированной из коэффициентов исходной задачи

-Свободными членами в системе ограничений являются коэффициенты целевой функции исходной задачи. Знаки неравенства меняются на противоположные, целевая функция стремиться к минимуму, все yi ≥0

Не симметричные двойственные задачи - это задачи, в которых исходная система ограничений является равенством (задача в каноническом виде)

смешанные двойственные задачи строятся по алгоритму предыдущих двух.

Основное неравенство двойственности

C1x1 +C2x2 +…+Cnxn ≤ b1y1 +b2y2 +…+bmym

для произвольного допустимого плана исходной и двойственной задачи.

Доказательство

Умножим каждое неравенство в двойственной задачи на соответствующую переменную xi и сложим все неравенства, перегруппировав их

Теоремы

• Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и вторая имеет такое же по значению целевой функции L(x) оптимальное решение

L(x) max=L(y) min

• Для оптимальности допустимых решений x и y,пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение следующих ограничений