2. Метод простой итерации для слау.

Рассмотрим систему линейных уравнений алгебраических уравнений

a₁₁x₁+ a₁₂x₂+...+a_1nx_n=b₁ a₂₁x₂+a₂₂x₂+...+a_2nx_n=b₂ ..................................... a_n1x₁+a_n2x₂+...+a_nnx_n=b_n (1)

Ах=В (1)

Перейдем каким-либо образом от системы (1) к итерационному виду:

X=Bx+d (2)

Зададимся некоторым вектором x⁰ – начальное приближение.

Подставим в правую часть (2), получим

x¹=Bx⁰+d

Подставляя x¹ в правую часть (2), получим вектор x² и т.д. В итоге можем записать

x^k+1 = Bx^k +d (3)

Получим последовательность векторов x⁰, x¹, … x^k. Покажем, что при определенных предположениях на матрице В, эта последовательность сходится к точному решению x^*

Теорема: Пусть ||B||<1, тогда существует единственное решение системы (2) (а следовательно и системы (1)) и последовательность x⁰, x¹, … x^k сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Доказательство: Пусть х^* - решение системы (2) и ||B||<1. Тогда имеем тождество x^*=Bx^*+d (4)

Из (4) следует ||x^*||=||Bx^* + d|| <= ||Bx^*|| + ||d|| <= ||B|| ||x^*|| + ||d|| след-но ||x^*|| (1-||B||) <= ||d||

Т.к. ||B|| <1 след-но ||x^*||<=||d||/(1-||B||) (5)

=> Положим, что d=0, т.е. система (2) – система однородных уравнений, тогда из (5) следует, что ||x^*||<=0  x^*=0

Т.е. система однородных уравнений имеет единственное решение, следовательно система неоднородных отношений (d≠0) имеет единственное решение.

Пусть r^k = x^* - x^k, где x^k – k-ое приближение к решению.

Вычтем их:

X^*=Bx^*+d

X^k=Bx^k+d

Получим x^*- x^k = B(x^* - x^k)

Оценим по норме

||x^* - x^k||<= ||B||·|| x^* - x^k-1 ||, т.е.

||r^k||<= ||B||·||r^k-1||

||r^k||<=||B||·||B||·||r^k-2|| <=||BA^k||·||r⁰|| (6)

Из (6) следует, что при k -> ∞, ||r^k|| -> 0, со скоростью геометрической прогрессии.

Оценка погрешности метода.

Пусть ||B|| <1, тогда по Теореме имеем единственное решение системы (2).

Получим:

x^*- x^k = B(x^* - x^k-1)

-x^k-1 -x^k-1

x^*- x^k-1 = x^k – x^k-1 + B(x^* - x^k-1) (7)

Оценим по норме:

||x^*- x^k-1||< = ||B||·||x^* - x^k-1|| + ||x^k – x^k-1||

||x^*- x^k-1||·(1- ||B||) <= ||x^k – x^k-1||

||x^*- x^k-1|| <= 1/(1- ||B||) · ||x^k – x^k-1|| <=||B||/(1- ||B||) · ||x^k – x^k-1|| (8)

Из (8) следует, что если ε – требуемая точность, то запись (8) в виде:

||x^*- x^k-1|| <=||B||/(1- ||B||) · ||x^k – x^k-1|| < ε (9)

Следовательно, достаточно потребовать, чтобы

||x^*- x^k-1|| < ε

Условие (9) также является критерием остановки программ.

3. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Вывод, оценка погрешности.

Задана таблицей некоторая произвольная функция f(x)

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

y - зависимая переменная.

Построим интерполяционный многочлен L_n(x), удовлетворяющий условию

L_n(x_k) = y_k, k=0…n

Будем искать L _n(x) в виде

L_n(x)=l₀(x)+l₁(x)+...+ l_n(x),(1)

где l_i(x) - многочлен степени n

Многочлены l_i(x) составим следующим способом:

l_i(x)=c_i(x-x₀) (x-x₁)*...*(x-x_i-1)*(x-x_i+1)*...*(x-x_n), (3)

l_i(x) удовлетворяет условиям

(4)

Очевидно, что вид (3) многочлена l_i(x) удовлетворяет второму из условий (4).

c_i - постоянный коэффициент, задается следующим образом

(5)

(замечаем, что ни один множитель в знаменателе не равен нулю).

Условие (5) удовлетворяет первому требованию условия (4).

Многочлен Лагранжа будет иметь вид

(6).

L_n(x_k) = y_k

Упростим (6)

Обозначим через w_n+1(x) = (x-x­₀)(x-x₁)… (x-x_n) (7) - многочлен степени (n+1)

Найдем w_n+1(x_k)

Комментарий: Пусть w_n+1(x)=(x-x₀)(x-x₁)(x-x₂)

Тогда w^’(x)=(x-x₁)(x-x₂)+ (x-x₀) (x-x₂)+ (x-x₀)(x-x₁)

Тогда w^’(x₀)=(x₀-x₁)(x₀-x₂) и т.д.

Следовательно w^’_n+1(x_k)=(x_k-x₀)(x_k-x₁)…(x_k-x_n-1) (x_k-x_n+1)… (x_k-x_n)

Тогда

L_n(x)= (8)

L_n(x) называют интерполяционным многочленом Лагранжа

1. L_n(x_k)=y_n

2. L_n(x) ~f(x), x≠x_k

Оценка погрешности.

Пусть функция f(x) задает таблицу.

Будем считать f(x) неизвестной.

f(x)=L_n(x)+R_n (1)

где L_n(x) – интерполяционный многочлен, R_n – погрешность интерполяции.

Будем искать R_n(x) в виде R_n(x) = w_n+1(x)·r_n(x) (2)

где r_n – некоторая функция, не зависящая от узлов интерполяции.

Пусть х € [x₀, x_n] произвольная точка и х≠x_t

Рассмотрим следующую вспомогательную функцию

φ(t) = L_n(t)+w_n+1(t)·Z_n(x) – f(t) (3)

Функция φ(t) обращается в ноль в (n+2) точках интервала [x₀,x_n], а именно t = x_k, k=0…n, t=x (следует из (1))

При t=x_n получаем

w_n+1(x_k)=0, а L_n(x_k)=f(x_k)=y_n

По теореме Ролле φ^’(t) обращается в ноль в (n+1) точках интервала, φ^’’(t) обращается в ноль в n точках интервала и т.д.

Найдется такая точка ξ € [x₀,x_n] такая, что

φⁿ⁺¹(ξ)=0

Но φⁿ⁺¹(t)=(n+1)!C_n(x) – f ^’’(t) (4)

Следует из того, что (t)=0 и

Из (4) φⁿ⁺¹(ξ)=(n+1)!·r_n(x) – f ⁿ⁺¹(ξ) = 0

ξ € [x₀,x_n) =>

r_n(x)=

где M_n+1=max |fⁿ⁺¹(x)| x € [x₀,x_n] (5)